出品：新浪科技《科学大家》、墨子沙龙
作者：蔡天新 浙江大学数学系教授
春秋战国时，河南商丘是宋国都城，也是孔子祖籍。跟儒家分庭抗礼的道家有两个重要人物老子和庄子，其中庄子也是宋国人。还有一位就和数学相关的墨子，他也是宋国商丘人。名家惠施，也被称为惠子，我认为他们是在中国古代那么多哲学家里面，科学水准最高的两位，“名人名家”就是以惠子命名的。
古希腊也是英才辈出，就像我们春秋战国一样，哲学家、科学家很多。古罗马的国力非常强盛，疆域非常广泛，甚至英格兰都被它征服了，但是古罗马留给我们的文明尚且不如古希腊多。
在我眼里“天才”应该是杰出的意思。按照历史学家的观点，17世纪在历史上是“路易十四世纪”，路易十四是法兰西的太阳王，在他当政的时候，法国成为世界的一流强国。但是在哲学家看来，17世纪是科学人才辈出的一个世纪，英国哲学家怀特海称这段时间为“天才的世纪”。这个世纪的科学家不一定有18世纪那么多，但是重量级的人物特别多，而且其中有一半是横跨文理两大领域的。
大致上有九个人物，其中后面五个人物，完全是17世纪的科学家。前面四位中第一位是一半的学术生涯在17世纪，一半的学术生涯在16世纪后。从开普勒、伽利略到笛卡尔，这三个人出生在16世纪，但他们的主要学术生涯全部都在17世纪，所以我想他们也代表了17世纪。
怀特海在著作《科学与近代世界》中说，直到1500年，欧洲人了解的科学知识尚且不如在公元前212年去世的阿基米德多，但到了1700年，牛顿完成巨著《自然科学的数学原理》，整个世界进入了崭新的现代。
这200年间欧洲发生了突变。现在我们要说的是后100年，因为前100年其实并没有多少竞争，16世纪结束的那一年发生了一件大事，布鲁诺在罗马的鲜花广场被活活烧死，布鲁诺并不是一个大科学家，他是一个科学的宣扬者，他宣扬哥白尼的学说，为什么哥白尼平安无事，反而布鲁诺获罪？因为哥白尼提出日心说以后就回到他的老家波兰，没引起多少人的关注，在老家终老。波兰当时是一个远离科学中心的国家，所以没人知道在科学上是他提出了日心说，因此他就相对平安的度过了他的余生。
意大利文艺复兴
意大利的文艺复兴是17世纪以前几百年的事情，艺术家不是突然爆发出来的，追根溯源，回到古希腊的毕达哥拉斯和柏拉图，他们开创的那些数学传统被亚里斯多德的光芒盖过去了，而亚里士多德本人对数学并不是特别的重视。
亚里士多德的“三段论”毕达哥拉斯最有名的一句话，“万物皆数”。由此可见，他非常重视数学。亚里士多德依赖于生物学，这个生物学跟现在的生物学还是不一样，那时候还是处于萌芽状态的生物学。举个例子，毕达哥拉斯定理，中国叫勾股定理，实际上它是用一句诗歌来表达的，“斜边的平方，如果我没有弄错，等于其他两边的平方之和”。
柏拉图继承了毕达哥拉斯的衣钵，其实三句话来概括，就可以看出来他非常钟情于数学。第一句话他说“数学是善”；第二句话是放在了柏拉图学院的门口，“不懂几何学的人请勿入内”，也就是说你不懂数学的话，就不要到我这念书了；第三句话非常的粗鲁，他说“不懂得数学在探求真理方面的重要性的人，就像猪一般”，意思是你必须要用到数学，否则的话你就像猪一样。这句话出现在柏拉图最后一本著作《法律篇》。
亚里士多德最有名的是“三段论”，三段论听起来好像是有点道理，但是仔细看看可能是强词夺理的。20世纪的时候哲学家罗素评价他，“笔下尽是一些枯燥乏味的教科书”，而柏拉图却是“写下了扣人心弦的教科书”。罗素是比较欣赏毕达哥拉斯和柏拉图的。
到文艺复兴的时候，亚里士多德去世都有差不多一千年了，但是他的哲学、思想一直统治着整个欧洲。艺术家们开始觉得不对劲了，因为在亚里士多德这种哲学体系下，他们艺术创造都受到一点压制，因此他们要重新从数字结构里面去寻找。毕达哥拉斯把数学家比喻为至高无上的上帝，以此表明他们对数学的信赖。
艺术家是如何重视数学的
伯鲁乃列斯基佛罗伦萨最显赫最耀眼的一个建筑就是佛罗伦萨大教堂，就是500年前伯鲁乃列斯基设计的，现在它也是佛罗伦萨的制高点。比他晚一辈的人里面有个人叫阿尔贝蒂，这个人本身是个雕刻家，但是对数学非常有研究，他就画了这么一幅图，这个方法最初昭示于伯鲁乃列斯基时期，但是阿尔贝蒂把它提高到比较通俗易懂的一步。
数学投影上图右边是画家的眼睛，左边的是一个像三潭映月一样的坛子。他用了一个技巧，就是用玻璃平板放在中间，放个方格纸隔好，然后自己的画布上也放个方格纸。因为玻璃平板放在中央，它就有个轮廓出现，就是坛子的投影，他就依样画葫芦的画下来，这个方法就是阿尔贝蒂和伯鲁乃列斯基创造的一个数学投影的方法。
几十年后，一个叫丢勒的德国画家，去旅行到意大利的时候，从阿尔贝蒂那里学到这个方法，这个方法叫做perspective principle，透视原理。下图是丢勒的自画像。
丢勒到现在为止，他依然是德国最伟大的画家。他画的另一幅作品叫《忧郁》，右边坐着一个穿着裙子的少女，眼神有点迷惘，左边他用几何图案来表达迷惘的主题，我们特别关注的是右上角，右上角有一个窗子一样的正方形，它写着16个阿拉伯数字，每行、每列、对角线四个数字加起来都是34，甚至在角落上这四个数字加起来也是34，在四个角，这四个数字16、13、1、4加起来也是34，甚至9、15，加上那边的2、8，构成一个平行四边形，2加8是10，9加15是24 ，加起来也是34，完美的四个数字加起来都是34。在数学里这个叫幻方：Magic Square，是丢勒本人发明的。
所以除了继承了意大利的传统以外，他还有自己的数字的发现把它放到绘画里面去，增加了这幅画的神秘感，使得这幅画的流传到世界各地，进入了绘画史，而且它最后一行的中间两个数字15、14，正好是画这幅画的年份。实际上那一年他亲爱的母亲去世了，他为了表达他的哀悼之情，就画了这幅画。这是欧洲艺术史上的一幅杰作，他用了一个数字的概念、数字的奥秘，实现了这个目标。这也是在当时文艺复兴对数字的重新召唤，但是有点小遗憾，比如说中间这四个数字加在一起，它只有30不到34。
忧郁
幻方在印度的一个偏僻的乡下，离新德里300多公里的克久拉霍寺庙里面，墙上有这么一个东西，翻译成现代的阿拉伯数字。中间刚才这个位置，2、13、16、3加起来也是34。这个是历史上全世界唯一一个十全十美的幻方，是印度人发明的，但它不是绘画，只是一个幻方。前几年世界联合国教科文组织把这个寺庙所在的地方，选入世界文化遗产，跟这个幻方有很大关系。
上面这张照片是法兰克福机场两个航站楼之间的通道，看不出有什么数学的东西，地砖上有很多平行线，头上天花板上也有很多平行线，两侧的电梯的扶手也是平行线。这些平行线在三维空间里都是平行的，但是拍成照片以后，已经不再平行，不仅不平行，而且所有的平行线都是从中间的某一点延伸出来的，这是19世纪发明的照像技术告诉我们的，但在500年前意大利文艺复兴的时候，画家就非常具有数学观点。那时候根本没有照相机的概念，但是他们已经从自己的眼睛、从他们的数学知识里面就发现了这一点。
假如油画里有家具和天花板，肯定有平行线的，比如下图是个家具，里面有平行线，这个黄色的线条，它画在画上以后，一定要让所有的黄色线条相交于同一点，这样就完美了。画成以后要把黄色的线条，包括焦点也擦掉，所以英文里叫vanishing point，没影点加上透视原理，是古典油画里面非常重要的技巧，就来源于文艺复兴的画家们，来源于那个时候他们对数学、对柏拉图、对亚里士多德数学重新唤起的热情而实现的。
这就是文艺复兴时期受益于数学的例子，然后又有后来的达芬奇。达芬奇是个私生子，小时候没有机会接受好的教育，他做学徒工，做到30多岁的时候，经济条件改善了，才有机会自学几何学，同时加以研究。
到四十七八岁的时候，他就画出了那幅有名的画——《最后的晚餐》。又过了20年，已经是垂垂老矣，六十七八岁的时候，他画出了《蒙娜丽莎》。所以从他的经历可以看出，30多岁的时候他对几何学的研究，对他后来成为一个伟大的画家是很重要的。文艺复兴可以说是艺术非常辉煌的时代。
文艺复兴的另外一个意义是打通了文理，为17世纪的科学的大踏步前进奠定了基础。达芬奇文理双全，但他的理科水准，按照李约瑟的话讲，还是业余水平。
伽利略提出的自由落体运动，理论基础就是因为他的前辈，那些艺术家们已经把亚里士多德权威形象降低了。本来亚里士多德认为物体都不动的，那么伽利略敢于否定，提出自由落体运动，是因为当时的艺术氛围为主，当时艺术家们已经不是那么崇拜亚里士多德了。
开普勒，他比伽利略小十几岁，他本来是个文学硕士，在一个中学里教书，但是有一天脑子里突然被毕达哥拉斯和柏拉图的“数学和谐”的信念所影响，因为这两位前辈说世界万物都是“数学和谐”的，因此他就想行星轨迹也应该以某种数学的图案出现。在这个信念之下，他在17世纪的前20年提出“三大行星定律”。
三大行星定律，每个定律都是跟数学方程式有关系。在17世纪第一年，中国正好处在明朝万历年间，在那个时候明朝的“四大名著”有三部，还有哲学家，还有就是徐光启和利玛窦引进了《几何原本》，但总体来说中国的那个时候，没有像文艺复兴运动做了那么好的准备。
17世纪的科学
17世纪的科学，它到底好在哪个地方，天才表现在哪个地方？培根是开创先河的哲学家，他著有《学术的进展》，“知识就是力量”就是他提出来的。塞万提斯的小说《唐吉可德》，也被认为是最伟大的长篇小说。莎士比亚的《哈姆雷特》到目前为止被认为是最重要的巨著。哈维的血液循环理论，到现在也是医学里面最重要的一个理论。
再来看看笛卡尔——近代哲学之父，除了数学上的解析几何等发明以外，他的两部最重要的哲学著作就在1642年前后发表的。怀德海说说“这个世纪可以说是时间不够，没法把天才人物的重大事件摆布开来”。
除了刚才几件事情以外，还有吉尔伯特、化学的玻意耳、惠更斯的光学，都是在17世纪取得进展的。墨子擅长的光学和数学有关系，除了光的波动和钟表的摆动以外，还有惠更斯原理在数学上，有一个进入中学课本的叫“数学期望”，也是他定义的。
17世纪的数学家我列举出了五个：笛卡尔、费尔马、帕斯卡尔、牛顿、莱布尼兹。其中前面三位是法国人，后面两个分别是英国人和德国人。
费尔马，业余数学家之王，利用业余时间做数学，最后却成为大数学家，他的成就有“费尔马原理”，但因他不爱发表文章，所以解析几何的发明权就归笛卡尔了，微分学归牛顿和莱布尼茨了。但这些成果实际上他自己在笔记本上也做出来了。下图最重要也最有名的“费尔马大定理”，十多年前被英国剑桥大学怀尔斯教授解决了。“费尔马大定理”有两个非常著名的推广，到现在还没证明。
笛卡尔不仅是一位大数学家，同时还是个大哲学家。我们知道a，b，c是已知数，x，y，z是未知数，这就是笛卡尔建议规定的。这个方法一直沿用到今天，包括物理学等其他科学里面，也都是用这个手段，是笛卡尔建议的。
笛卡尔另外，笛卡尔比哥德巴赫早100年前，就已经把“哥德巴赫猜想”写在笔记本上，只不过他也不太愿意出版，所以后来就叫“哥德巴赫猜想”。他主要的数学灵感，就是发现解析几何，而发现坐标系的灵感却是在睡懒觉的时候产生的。他睡懒觉时看见天花板上苍蝇在爬，他想：“把苍蝇的运动轨迹给描绘出来该多棒”，怎么描绘呢？他就想了一个方法，建立X轴、y轴，每个点有个横坐标和纵坐标，不过这个事迹是传说的。
他睡懒觉的地点叫乌尔姆，在德国最南部的两个州，巴登-福腾堡和巴伐利亚中间。200年以后，乌尔姆小镇上诞生了一位非常有名的科学家：爱因斯坦。
笛卡尔的二元论的想法，也是从乌尔姆发明的坐标系来的。笛卡尔之前的哲学家，无论是毕达哥拉斯还是其他人，都认为万物是由一样事情组成的。比如有人认为万物是由水组成的，有人认为万物由空气、由泥巴组成的。毕达哥拉斯说万物都是数，但到了笛卡尔，他认为坐标系有两个，为什么万物只有一样事情，便提出了著名的二元论。
帕斯卡尔定义了气压单位。17世纪的法国，巴黎已经是世界著名的城市，但是交通却是个问题。那时交通没有汽车，只有马车，而马车只是贵族才有，普通老百姓要从城东赶到城西，走路太辛苦了，然后帕斯卡尔建议建立公共马车，他向巴黎市政府建议，成立一个公共马车服务公司来操作这件事情。这就是我们今天每一座城市公共汽车服务公司、出租车服务公司的雏形。
牛顿
莱布尼茨莱布尼茨是个数学家，同时也是物理学家和哲学家。1673年，他发明了级数，因此英国聘请他为皇家学会外籍会员。当时英国跟德国一样，科学水平都不高，远远不如法国。而莱布尼茨在法国发明的微积分，结果法国反而不给他外籍院士的头衔，由此也可以看出当时法国处在领先的地位。
17世纪的哲学
借着文艺复兴的力量，科学大步前进。但科学要想持久发展，人文方面必须得跟上去，正好17世纪的这几位科学家就做了杰出的贡献。最突出的是笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨。
“知识就是力量”，“读诗使人灵秀”等，这些都是培根说过比较有名的话。他提出了归纳法，彻底打败了亚里士多德的“三段论”。
达尔文发明生物学时，归纳法发挥了特别重要的作用。值得一提的是，达尔文并不是个好学生，上课的时候经常打瞌睡，所以在三一学院的塑像群里面，他在牛顿前面打瞌睡，所以大家把他塑造成下图这样。
达尔文霍布斯在这些科学家中知名度不是特别高，他最有名的著作叫《利维坦》，他最有名的一句话“一切推理皆为计算”，而这句话导致了莱布尼茨发明了乘法计算器。
霍布斯霍布斯说：“如果物质的东西和它们的所有部分始终处于静止或永远作同一运动，那么世界万物就不会有所区别。因此，万物的各不相同必定是由于有多种多样的运动”。霍布斯、笛卡尔、帕斯卡尔，他们年轻的时候都从事科学研究，但是到了年长以后，他们把经历转移到对哲学、对思想的探索上去，出版了这些代表作，对后辈们继续从事科学事业，作用非常大。
帕斯卡尔除是哲学家、科学家以外，他还是个信徒。他说： “如果上帝不存在，那么你相信他也不会失去什么；而上帝如果存在，你相信他就可以获得永生”。这句话是我比较欣赏的他关于宗教的一句话。帕斯卡尔跟笛卡尔他们两人之所以到晚年都能够持续的创造，更多的依赖于他们的怀疑主义，其中帕斯卡尔是比较温和的怀疑主义者，而笛卡尔是一个彻头彻尾的怀疑主义者，对世界万物他首先要质疑，然后才能进行探究，最后才能有所发现。我想这也是我们的科学精神。
斯宾诺莎斯宾诺莎有一个最有名的著作《伦理学》，是按照欧几里得的几何方法演绎产生的。洛克的代表作叫《人类理智论》，他认为人的所有知识都建立在经验的基础之上，他曾经说“知识来源于经验，而宗教和道德像数学一样可以予以证明”，他很多著作里面用了好多抽象的，类似于数学概念的东西来表达。这也是受到文艺复兴遗风的影响，很多哲学的表达方式就倾向于用数理的方法来表达。
洛克17世纪末，数学作为一种可以应用到基本物理问题的工具，已达到了成熟，所以在18世纪，数学给物理学家、应用数学家提供了一个施展才华的机会。17世纪的科学和哲学，可以说非常好地完成了使命。
怀特海曾说：“世界历史的每一个时代，都有富于头脑的人在孜孜不倦地致力于建立普遍性的原则。大学的主要责任，包括学术，主要责任就是继承这种传统，作为一种文化遗产而广泛传播，使之流芳百世。”这句话值得我们去深刻理会。
如果把文艺复兴的艺术跟唐朝诗歌相比，它们各有千秋，都很辉煌。唐朝诗歌在世界上的地位是非常高。李白、杜甫有很多的外国诗人粉丝。
那么它们的差别在哪里？唐以后的两宋，有很多技术上的革新，四大文明中的三个是在宋朝以后完成革新的。文艺复兴以后的17世纪的欧洲，则是天才辈出，群星璀璨的世纪。一个是技术上取得很大的进展，另外一个在理论包括人才方面，包括可持续方面，群星璀璨，天才辈出，还是有差距的。我认为原因是唐朝只是诗歌的发展，并没有注意文理交融。而文艺复兴时，科技包括数学跟艺术结合得非常好，对后续发展非常重要的。这个差别对今后的发展是值得参考的。
刚刚过去的诺贝尔奖，大家都在感叹日本人的成就，我想中国需要一个更好的人文环境，但并不是说让科学家去做人文，我觉得一个好的人文环境可以让科学家看问题更为深远，可以更全身心地投入到工作中去，能培养更多更优秀的人才。
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