出品:新浪科技《科学大家》、墨子沙龙
作者:蔡天新 浙江大学数学系教授
春秋战国时,河南商丘是宋国都城,也是孔子祖籍。跟儒家分庭抗礼的道家有两个重要人物老子和庄子,其中庄子也是宋国人。还有一位就和数学相关的墨子,他也是宋国商丘人。名家惠施,也被称为惠子,我认为他们是在中国古代那么多哲学家里面,科学水准最高的两位,“名人名家”就是以惠子命名的。
古希腊也是英才辈出,就像我们春秋战国一样,哲学家、科学家很多。古罗马的国力非常强盛,疆域非常广泛,甚至英格兰都被它征服了,但是古罗马留给我们的文明尚且不如古希腊多。
在我眼里“天才”应该是杰出的意思。按照历史学家的观点,17世纪在历史上是“路易十四世纪”,路易十四是法兰西的太阳王,在他当政的时候,法国成为世界的一流强国。但是在哲学家看来,17世纪是科学人才辈出的一个世纪,英国哲学家怀特海称这段时间为“天才的世纪”。这个世纪的科学家不一定有18世纪那么多,但是重量级的人物特别多,而且其中有一半是横跨文理两大领域的。
大致上有九个人物,其中后面五个人物,完全是17世纪的科学家。前面四位中第一位是一半的学术生涯在17世纪,一半的学术生涯在16世纪后。从开普勒、伽利略到笛卡尔,这三个人出生在16世纪,但他们的主要学术生涯全部都在17世纪,所以我想他们也代表了17世纪。
怀特海在著作《科学与近代世界》中说,直到1500年,欧洲人了解的科学知识尚且不如在公元前212年去世的阿基米德多,但到了1700年,牛顿完成巨著《自然科学的数学原理》,整个世界进入了崭新的现代。
这200年间欧洲发生了突变。现在我们要说的是后100年,因为前100年其实并没有多少竞争,16世纪结束的那一年发生了一件大事,布鲁诺在罗马的鲜花广场被活活烧死,布鲁诺并不是一个大科学家,他是一个科学的宣扬者,他宣扬哥白尼的学说,为什么哥白尼平安无事,反而布鲁诺获罪?因为哥白尼提出日心说以后就回到他的老家波兰,没引起多少人的关注,在老家终老。波兰当时是一个远离科学中心的国家,所以没人知道在科学上是他提出了日心说,因此他就相对平安的度过了他的余生。
意大利文艺复兴
意大利的文艺复兴是17世纪以前几百年的事情,艺术家不是突然爆发出来的,追根溯源,回到古希腊的毕达哥拉斯和柏拉图,他们开创的那些数学传统被亚里斯多德的光芒盖过去了,而亚里士多德本人对数学并不是特别的重视。
毕达哥拉斯最有名的一句话,“万物皆数”。由此可见,他非常重视数学。亚里士多德依赖于生物学,这个生物学跟现在的生物学还是不一样,那时候还是处于萌芽状态的生物学。举个例子,毕达哥拉斯定理,中国叫勾股定理,实际上它是用一句诗歌来表达的,“斜边的平方,如果我没有弄错,等于其他两边的平方之和”。
柏拉图继承了毕达哥拉斯的衣钵,其实三句话来概括,就可以看出来他非常钟情于数学。第一句话他说“数学是善”;第二句话是放在了柏拉图学院的门口,“不懂几何学的人请勿入内”,也就是说你不懂数学的话,就不要到我这念书了;第三句话非常的粗鲁,他说“不懂得数学在探求真理方面的重要性的人,就像猪一般”,意思是你必须要用到数学,否则的话你就像猪一样。这句话出现在柏拉图最后一本著作《法律篇》。
亚里士多德最有名的是“三段论”,三段论听起来好像是有点道理,但是仔细看看可能是强词夺理的。20世纪的时候哲学家罗素评价他,“笔下尽是一些枯燥乏味的教科书”,而柏拉图却是“写下了扣人心弦的教科书”。罗素是比较欣赏毕达哥拉斯和柏拉图的。
到文艺复兴的时候,亚里士多德去世都有差不多一千年了,但是他的哲学、思想一直统治着整个欧洲。艺术家们开始觉得不对劲了,因为在亚里士多德这种哲学体系下,他们艺术创造都受到一点压制,因此他们要重新从数字结构里面去寻找。毕达哥拉斯把数学家比喻为至高无上的上帝,以此表明他们对数学的信赖。
艺术家是如何重视数学的
佛罗伦萨最显赫最耀眼的一个建筑就是佛罗伦萨大教堂,就是500年前伯鲁乃列斯基设计的,现在它也是佛罗伦萨的制高点。比他晚一辈的人里面有个人叫阿尔贝蒂,这个人本身是个雕刻家,但是对数学非常有研究,他就画了这么一幅图,这个方法最初昭示于伯鲁乃列斯基时期,但是阿尔贝蒂把它提高到比较通俗易懂的一步。
上图右边是画家的眼睛,左边的是一个像三潭映月一样的坛子。他用了一个技巧,就是用玻璃平板放在中间,放个方格纸隔好,然后自己的画布上也放个方格纸。因为玻璃平板放在中央,它就有个轮廓出现,就是坛子的投影,他就依样画葫芦的画下来,这个方法就是阿尔贝蒂和伯鲁乃列斯基创造的一个数学投影的方法。
几十年后,一个叫丢勒的德国画家,去旅行到意大利的时候,从阿尔贝蒂那里学到这个方法,这个方法叫做perspective principle,透视原理。下图是丢勒的自画像。
到现在为止,他依然是德国最伟大的画家。他画的另一幅作品叫《忧郁》,右边坐着一个穿着裙子的少女,眼神有点迷惘,左边他用几何图案来表达迷惘的主题,我们特别关注的是右上角,右上角有一个窗子一样的正方形,它写着16个阿拉伯数字,每行、每列、对角线四个数字加起来都是34,甚至在角落上这四个数字加起来也是34,在四个角,这四个数字16、13、1、4加起来也是34,甚至9、15,加上那边的2、8,构成一个平行四边形,2加8是10,9加15是24 ,加起来也是34,完美的四个数字加起来都是34。在数学里这个叫幻方:Magic Square,是丢勒本人发明的。
所以除了继承了意大利的传统以外,他还有自己的数字的发现把它放到绘画里面去,增加了这幅画的神秘感,使得这幅画的流传到世界各地,进入了绘画史,而且它最后一行的中间两个数字15、14,正好是画这幅画的年份。实际上那一年他亲爱的母亲去世了,他为了表达他的哀悼之情,就画了这幅画。这是欧洲艺术史上的一幅杰作,他用了一个数字的概念、数字的奥秘,实现了这个目标。这也是在当时文艺复兴对数字的重新召唤,但是有点小遗憾,比如说中间这四个数字加在一起,它只有30不到34。
在印度的一个偏僻的乡下,离新德里300多公里的克久拉霍寺庙里面,墙上有这么一个东西,翻译成现代的阿拉伯数字。中间刚才这个位置,2、13、16、3加起来也是34。这个是历史上全世界唯一一个十全十美的幻方,是印度人发明的,但它不是绘画,只是一个幻方。前几年世界联合国教科文组织把这个寺庙所在的地方,选入世界文化遗产,跟这个幻方有很大关系。
上面这张照片是法兰克福机场两个航站楼之间的通道,看不出有什么数学的东西,地砖上有很多平行线,头上天花板上也有很多平行线,两侧的电梯的扶手也是平行线。这些平行线在三维空间里都是平行的,但是拍成照片以后,已经不再平行,不仅不平行,而且所有的平行线都是从中间的某一点延伸出来的,这是19世纪发明的照像技术告诉我们的,但在500年前意大利文艺复兴的时候,画家就非常具有数学观点。那时候根本没有照相机的概念,但是他们已经从自己的眼睛、从他们的数学知识里面就发现了这一点。
假如油画里有家具和天花板,肯定有平行线的,比如下图是个家具,里面有平行线,这个黄色的线条,它画在画上以后,一定要让所有的黄色线条相交于同一点,这样就完美了。画成以后要把黄色的线条,包括焦点也擦掉,所以英文里叫vanishing point,没影点加上透视原理,是古典油画里面非常重要的技巧,就来源于文艺复兴的画家们,来源于那个时候他们对数学、对柏拉图、对亚里士多德数学重新唤起的热情而实现的。
这就是文艺复兴时期受益于数学的例子,然后又有后来的达芬奇。达芬奇是个私生子,小时候没有机会接受好的教育,他做学徒工,做到30多岁的时候,经济条件改善了,才有机会自学几何学,同时加以研究。
到四十七八岁的时候,他就画出了那幅有名的画——《最后的晚餐》。又过了20年,已经是垂垂老矣,六十七八岁的时候,他画出了《蒙娜丽莎》。所以从他的经历可以看出,30多岁的时候他对几何学的研究,对他后来成为一个伟大的画家是很重要的。文艺复兴可以说是艺术非常辉煌的时代。
文艺复兴的另外一个意义是打通了文理,为17世纪的科学的大踏步前进奠定了基础。达芬奇文理双全,但他的理科水准,按照李约瑟的话讲,还是业余水平。
伽利略提出的自由落体运动,理论基础就是因为他的前辈,那些艺术家们已经把亚里士多德权威形象降低了。本来亚里士多德认为物体都不动的,那么伽利略敢于否定,提出自由落体运动,是因为当时的艺术氛围为主,当时艺术家们已经不是那么崇拜亚里士多德了。
开普勒,他比伽利略小十几岁,他本来是个文学硕士,在一个中学里教书,但是有一天脑子里突然被毕达哥拉斯和柏拉图的“数学和谐”的信念所影响,因为这两位前辈说世界万物都是“数学和谐”的,因此他就想行星轨迹也应该以某种数学的图案出现。在这个信念之下,他在17世纪的前20年提出“三大行星定律”。
三大行星定律,每个定律都是跟数学方程式有关系。在17世纪第一年,中国正好处在明朝万历年间,在那个时候明朝的“四大名著”有三部,还有哲学家,还有就是徐光启和利玛窦引进了《几何原本》,但总体来说中国的那个时候,没有像文艺复兴运动做了那么好的准备。
17世纪的科学
17世纪的科学,它到底好在哪个地方,天才表现在哪个地方?培根是开创先河的哲学家,他著有《学术的进展》,“知识就是力量”就是他提出来的。塞万提斯的小说《唐吉可德》,也被认为是最伟大的长篇小说。莎士比亚的《哈姆雷特》到目前为止被认为是最重要的巨著。哈维的血液循环理论,到现在也是医学里面最重要的一个理论。
再来看看笛卡尔——近代哲学之父,除了数学上的解析几何等发明以外,他的两部最重要的哲学著作就在1642年前后发表的。怀德海说说“这个世纪可以说是时间不够,没法把天才人物的重大事件摆布开来”。
除了刚才几件事情以外,还有吉尔伯特、化学的玻意耳、惠更斯的光学,都是在17世纪取得进展的。墨子擅长的光学和数学有关系,除了光的波动和钟表的摆动以外,还有惠更斯原理在数学上,有一个进入中学课本的叫“数学期望”,也是他定义的。
17世纪的数学家我列举出了五个:笛卡尔、费尔马、帕斯卡尔、牛顿、莱布尼兹。其中前面三位是法国人,后面两个分别是英国人和德国人。
费尔马,业余数学家之王,利用业余时间做数学,最后却成为大数学家,他的成就有“费尔马原理”,但因他不爱发表文章,所以解析几何的发明权就归笛卡尔了,微分学归牛顿和莱布尼茨了。但这些成果实际上他自己在笔记本上也做出来了。下图最重要也最有名的“费尔马大定理”,十多年前被英国剑桥大学怀尔斯教授解决了。“费尔马大定理”有两个非常著名的推广,到现在还没证明。
笛卡尔不仅是一位大数学家,同时还是个大哲学家。我们知道a,b,c是已知数,x,y,z是未知数,这就是笛卡尔建议规定的。这个方法一直沿用到今天,包括物理学等其他科学里面,也都是用这个手段,是笛卡尔建议的。
另外,笛卡尔比哥德巴赫早100年前,就已经把“哥德巴赫猜想”写在笔记本上,只不过他也不太愿意出版,所以后来就叫“哥德巴赫猜想”。他主要的数学灵感,就是发现解析几何,而发现坐标系的灵感却是在睡懒觉的时候产生的。他睡懒觉时看见天花板上苍蝇在爬,他想:“把苍蝇的运动轨迹给描绘出来该多棒”,怎么描绘呢?他就想了一个方法,建立X轴、y轴,每个点有个横坐标和纵坐标,不过这个事迹是传说的。
他睡懒觉的地点叫乌尔姆,在德国最南部的两个州,巴登-福腾堡和巴伐利亚中间。200年以后,乌尔姆小镇上诞生了一位非常有名的科学家:爱因斯坦。
笛卡尔的二元论的想法,也是从乌尔姆发明的坐标系来的。笛卡尔之前的哲学家,无论是毕达哥拉斯还是其他人,都认为万物是由一样事情组成的。比如有人认为万物是由水组成的,有人认为万物由空气、由泥巴组成的。毕达哥拉斯说万物都是数,但到了笛卡尔,他认为坐标系有两个,为什么万物只有一样事情,便提出了著名的二元论。
帕斯卡尔定义了气压单位。17世纪的法国,巴黎已经是世界著名的城市,但是交通却是个问题。那时交通没有汽车,只有马车,而马车只是贵族才有,普通老百姓要从城东赶到城西,走路太辛苦了,然后帕斯卡尔建议建立公共马车,他向巴黎市政府建议,成立一个公共马车服务公司来操作这件事情。这就是我们今天每一座城市公共汽车服务公司、出租车服务公司的雏形。
莱布尼茨是个数学家,同时也是物理学家和哲学家。1673年,他发明了级数,因此英国聘请他为皇家学会外籍会员。当时英国跟德国一样,科学水平都不高,远远不如法国。而莱布尼茨在法国发明的微积分,结果法国反而不给他外籍院士的头衔,由此也可以看出当时法国处在领先的地位。
17世纪的哲学
借着文艺复兴的力量,科学大步前进。但科学要想持久发展,人文方面必须得跟上去,正好17世纪的这几位科学家就做了杰出的贡献。最突出的是笛卡尔、帕斯卡尔、莱布尼茨。
“知识就是力量”,“读诗使人灵秀”等,这些都是培根说过比较有名的话。他提出了归纳法,彻底打败了亚里士多德的“三段论”。
达尔文发明生物学时,归纳法发挥了特别重要的作用。值得一提的是,达尔文并不是个好学生,上课的时候经常打瞌睡,所以在三一学院的塑像群里面,他在牛顿前面打瞌睡,所以大家把他塑造成下图这样。
霍布斯在这些科学家中知名度不是特别高,他最有名的著作叫《利维坦》,他最有名的一句话“一切推理皆为计算”,而这句话导致了莱布尼茨发明了乘法计算器。
霍布斯说:“如果物质的东西和它们的所有部分始终处于静止或永远作同一运动,那么世界万物就不会有所区别。因此,万物的各不相同必定是由于有多种多样的运动”。霍布斯、笛卡尔、帕斯卡尔,他们年轻的时候都从事科学研究,但是到了年长以后,他们把经历转移到对哲学、对思想的探索上去,出版了这些代表作,对后辈们继续从事科学事业,作用非常大。
帕斯卡尔除是哲学家、科学家以外,他还是个信徒。他说: “如果上帝不存在,那么你相信他也不会失去什么;而上帝如果存在,你相信他就可以获得永生”。这句话是我比较欣赏的他关于宗教的一句话。帕斯卡尔跟笛卡尔他们两人之所以到晚年都能够持续的创造,更多的依赖于他们的怀疑主义,其中帕斯卡尔是比较温和的怀疑主义者,而笛卡尔是一个彻头彻尾的怀疑主义者,对世界万物他首先要质疑,然后才能进行探究,最后才能有所发现。我想这也是我们的科学精神。
斯宾诺莎有一个最有名的著作《伦理学》,是按照欧几里得的几何方法演绎产生的。洛克的代表作叫《人类理智论》,他认为人的所有知识都建立在经验的基础之上,他曾经说“知识来源于经验,而宗教和道德像数学一样可以予以证明”,他很多著作里面用了好多抽象的,类似于数学概念的东西来表达。这也是受到文艺复兴遗风的影响,很多哲学的表达方式就倾向于用数理的方法来表达。
17世纪末,数学作为一种可以应用到基本物理问题的工具,已达到了成熟,所以在18世纪,数学给物理学家、应用数学家提供了一个施展才华的机会。17世纪的科学和哲学,可以说非常好地完成了使命。
怀特海曾说:“世界历史的每一个时代,都有富于头脑的人在孜孜不倦地致力于建立普遍性的原则。大学的主要责任,包括学术,主要责任就是继承这种传统,作为一种文化遗产而广泛传播,使之流芳百世。”这句话值得我们去深刻理会。
如果把文艺复兴的艺术跟唐朝诗歌相比,它们各有千秋,都很辉煌。唐朝诗歌在世界上的地位是非常高。李白、杜甫有很多的外国诗人粉丝。
那么它们的差别在哪里?唐以后的两宋,有很多技术上的革新,四大文明中的三个是在宋朝以后完成革新的。文艺复兴以后的17世纪的欧洲,则是天才辈出,群星璀璨的世纪。一个是技术上取得很大的进展,另外一个在理论包括人才方面,包括可持续方面,群星璀璨,天才辈出,还是有差距的。我认为原因是唐朝只是诗歌的发展,并没有注意文理交融。而文艺复兴时,科技包括数学跟艺术结合得非常好,对后续发展非常重要的。这个差别对今后的发展是值得参考的。
刚刚过去的诺贝尔奖,大家都在感叹日本人的成就,我想中国需要一个更好的人文环境,但并不是说让科学家去做人文,我觉得一个好的人文环境可以让科学家看问题更为深远,可以更全身心地投入到工作中去,能培养更多更优秀的人才。
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