科学大家|阿蒂亚是如何证明“世纪之谜”黎曼猜想的?

科学大家|阿蒂亚是如何证明“世纪之谜”黎曼猜想的?
2018年09月24日 17:28 科学大家

  出品| 新浪科技《科学大家》

  撰文| 张轩中 科普作家,互联网周刊新媒体业务部总监

  2018年9月24日,德国海德堡,著名数学家阿蒂亚爵士(Michael Atiyah)在演讲时表示,自己已证明了黎曼猜想。

  在演讲过程中,阿蒂亚公布了上面这张图片:利用todd函数反证法,证明了所有零点都在临界线上。

  在演讲开始前,他公开了这篇研究论文,总共5页。在论文中,借助量子力学中的无量纲常数α(fine structure constant),阿蒂亚声称解决了复数域上的黎曼猜想。

  在这个论文的引言部分,阿蒂亚说他希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数。

  这让人很震惊,因为精细结构常数大约等于1/137,刻画的是电磁相互作用的强度。比如在氢原子中,我们大致可以说电子绕原子核的速度是1/137再乘上光速。

  这个东西物理学家已经理解得很深了。随后,阿蒂亚指出,理解精细结构常数只是最初的动机。在这个过程中发展出来的数学方法却可以理解黎曼猜想。

  随后,阿蒂亚谈到了黎曼猜想。他说在他的证明过程中,他引入了一个新的函数,这个函数叫做todd函数。有意思的是,todd 是他的导师。

  据阿蒂亚说,todd函数是一个弱解析函数…… 但中间过程不好理解,这里就先不过多展开了。

  最后,在论文的最后,阿蒂亚说,精细结构常数与黎曼猜想,用他的方法,已经被解决了。当然他只解决了复数域上的黎曼猜想,有理数域上的黎曼猜想,他还需要研究。另外,随着黎曼猜想被解决,阿蒂亚认为,bsd猜想也有希望被解决。当然,现在阿蒂亚认为,引力常数G是一个更难理解的常数。

  “牛”论文的读后感

  这就是阿蒂亚论文的大概意思。

  读了这个论文,我倒是很平静。因为论文太短,看起来不是那么牛,而且充满了物理味道。其实,我还是想知道,黎曼猜想中为什么出现一个固定的常数1/2

  在黎曼猜想中,我们看到非平凡零点的实部都等于1/2,这是一个让人很意外的常数。虽然我们可以从一个简单的对称关系中看出为什么会出现1/2。

  1-s=s,所以 s=1/2

  但是,1/2为什么那么特殊?这个数字有什么对称性吗?体现了什么周期性吗?好像都没有。如果我们用物理学的眼光来看,我们会觉得1/2这个数是特殊的。(不是很好理解为什么上帝要特别选择这个数字来作为黎曼猜想的答案?为什么不选1/3或者1/7?难道是因为2是第一个素数吗?)在我看来1/2它不具备那种“广义协变性”。

  如果在黎曼猜想中,出现的常数不是1/2,而是圆周率,那会让我觉得这个事情要优美一些。现在出现的却是1/2,这无疑让人觉得黎曼猜想不是一个涉及到宇宙本质的猜想,而仅仅是一个比较粗糙的数学半成品。宇宙中可能还存在比黎曼猜想更基础的更重要的数学现象。

  “牛”论文的参考文献

  阿蒂亚在证明黎曼猜想的论文中提到了另外一篇参考文献,这个参考文献被叫做“文献2”,这个文献的题目是“精细结构常数”。

  在这个论文的一开头,阿蒂亚就写了几个字:

  “献给莉莉”

  现在还不太清楚这个莉莉是他女儿还是妻子,或者其他女性。

  阿蒂亚证明黎曼猜想的工作,与他一开始研究精细结构常数有非常大的关系。精细结构常数是量子物理学中的一个基本的常数,其数值大概等于1/137。 这个常数是比较巧合的,因为宇宙的年龄大概是137亿年。所以,如果不考虑误差,那么137这个数字就是很特殊的。

  阿蒂亚说,以前有一个叫爱丁顿的人,注意到 136=8+128

  其中8等于2的3次方,而128是2的7次方。而这些数字与所谓的克利福德代数有关。著名物理学家、引力波专家陈雁北认为,这只是把数字写成了2进制,其实也不能说明什么。但是,当时的爱丁顿只能看到136,现在还必须加上1,才能得到137。

  随后,阿蒂亚给出了他的理由,为什么137会出现。

  但是,问题来了,阿蒂亚给出的这个精细结构常数在物理学家眼里其实不是常数,因为根据量子场论的最新研究成果,精细结构常数其实刻画的是电磁相互作用的强度,物理学家称之为“耦合常数”。但耦合常数其实不是真的常数,它是会跑动的——也就是会随着时间变化。这就叫做running的常数。

  所以,大多数物理学家对数学家阿蒂亚试图证明1/137是一个常数觉得很尴尬,哑然失笑。

  确实,根据所谓的重整化群方程,耦合常数是跑动的,不是真的常数。在物理上,这可以被看成是随着能量的增加,相互作用强度的改变。

  阿蒂亚是不管物理学家如何想,因为作为数学家,他有他自己的想法。阿蒂亚认为,精细结构常数应该像圆周率一样,具有同样的数学上的意义。

  在阿蒂亚的“精细结构常数”的论文中,阿蒂亚写到,在18世纪中叶,数学家欧拉发现了圆周率与欧拉自然常数以及虚数单位i之间存在一个关系。所以,他希望找到欧拉的这个关系在四元数领域到底有没有类似的关系。

  四元数是当时的英国数学家哈密顿发现的。这是阿蒂亚的另外一个基本的思路。他看来时要发展四元数的欧拉公式,然后对精细机构常数的来历有所说明。

  随后,阿蒂亚提到了他在1950年代的合作者希兹布鲁赫的工作。在那个时代,希兹布鲁赫发展了关于todd亏格的理论。这个理论可以把几何学与拓扑学联系起来。在这个基础上,阿蒂亚与辛格等人发展了指标定理,而这个定理对数学物理学家很有用。

  所以,在“精细结构常数”这个论文中,阿蒂亚用数学解释了137这个数字的来历。而且他把这个常数与圆周率以及欧拉的常数联系在了一起。

  他在这个时候提到了重整化,看起来他还是很懂物理的。他说,重整化其实刻画的就是耦合常数随着能量的改变而改变的过程。他说,物理学家是用费曼图这类工具来处理这个问题的,而且物理学家的做法是依赖于实验的。但阿蒂亚认为,他自己的做法是数学化的。

  随后,阿蒂亚开始了他用数学化的手段推导精细结构常数的过程。

  在这个过程中,阿蒂亚令人震惊得提到了欧拉的7桥问题。随后他又提到了希兹布鲁赫的工作冯纽曼的工作。

  在这个文章中,结构太过庞杂,他还提到了他的合作者鲍特的工作。这看起来很像是他人生的回忆录。在这里他得到了结论:

  137=1+8+128

  在这里1就是2的0次方。所以正如陈雁北说的那样,他是把137写成了2进制。

  黎曼猜想是怎么回事呢?

  黎曼猜想是黎曼在1859年提出来的一个猜想,说白了就是与整数的求和有关。比如1+2+3+4+5+……一直加下去等于多少?高斯小的时候,能一直加到100,说答案是5050。

  但是,黎曼不是这样看这个问题的。

  黎曼把这个求和扩展了,他定义了一个求和f(s),其中s可以是任意复数。而高斯做的那个问题,相当于黎曼的一个特例,也就是f(-1)。特别要强调的是,f(1)是发散的,没有定义。其实就是解方程,也就是让f(s)=0,然后黎曼用一种很神秘的数学技巧解了这个方程,他只解出了不超过10个解,然后一看这寥寥无几的解,他发现这几个解全是复数,但复数的实部全是1/2。于是,黎曼猜想这个方程的解的实部都是1/2。打个比方就是,1859年,黎曼看到3个中国女人全是裹脚的,她猜想所有中国女人都裹脚。

  这个猜想太难,一直没有被解决。

  阿蒂亚爵士其人其事

  Atiyah做数学喜欢与别人合作,他有很多合作者。他的三个主要的合作者是:

  1、 Raoul Bot,他们在一起发展了 Atiyah–Bott不动点定理。Raoul Bot是一个工程师出身的数学家,有著名的“ Bot周期律”传世。

  2、 Isadore M。 Singer ,他们一起发展了Atiyah–Singer 指标定理。这个定理认为,一个微分流形上的微分算子的解空间可以揭示出流形的拓扑结构。

  3、 Friedrich Hirzebruch,他们一起发展了拓扑 K理论。

  这三个人都是阿蒂亚 1955年在普林斯顿高等研究院的那一年认识的。所以,现在如果阿蒂亚是一个人证明黎曼猜想,那么这看起来还是比较悬的一件事情。因为黎曼猜想很难,而看起来 Atiyah并不太擅长一个人做研究。

  Atiyah1966年获得数学的最高奖——Fields 奖金,当时他才37岁。得过这个奖的,华人只有丘成桐与陶哲轩。

  后来他在英国的剑桥大学做数学教授,他的学生中也有很牛的人,比如1983年的Simon Donaldson,也是因为用量子场论的方法证明了四维流形上有无穷多个微分结构获得1986年的Fields 奖金。

  黎曼猜想如果真的被阿蒂亚爵士证明,那么阿蒂亚爵士将成为继高斯黎曼之后最伟大的数学家之一,因为这个问题是数学界最难的问题,与素数有关,一旦被破解,也许我们地球上所有基于RSA密码的电脑系统都将变得不安全。

  总的说来,阿蒂亚的文章非常庞杂,需要很长的时间才可以看明白他的基本意思。但毫无疑问,这个文章解释了137的来历。随后,按照类似的方法,阿蒂亚证明了黎曼猜想。

  虽然我们现在不能完全确认阿蒂亚对黎曼猜想的证明是没有硬伤的。但他在89岁高龄的这一场战斗看起来充满了画面感。

  我想,历史会记得他的工作。

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