这道让美国妈妈全网求助的小学数学题，你会做吗？

原标题：这道让美国妈妈全网求助的小学数学题，你会做吗？

原创 Daphne & Helen 罗博深数学

本文为公众号「罗博深数学」原创

公众号ID｜LuoboshenMath

作者｜Daphne, Helen

文 2705字 阅读时间 5分钟

导语

这道火遍推特的小学数学题，为什么会引发全网讨论？

暑假已经到了，辅导娃们写数学题的家长现在还好吗？国内的很多家长已经快被小学生数学题逼疯了，多少神仙题目难得家长们辗转反侧，逼得老母亲不得不半夜呼叫亲戚家的高年级学生请求支援。

外网上辅导作业的美国家长们一样活在水深火热中，很多妈妈甚至表示恨不得重新去修个数学学位。这几天，这一道数学题在推特火了，一位“走投无路”的母亲将自家小孩的数学题发在了网上，向广大网友求解。

这道题目的条件很简单：

海边有3个灯塔，同时被点亮。

第一个灯塔A亮3秒，暗3秒。

第二个灯塔B亮4秒，暗4秒。

第三个灯塔C亮5秒，暗5秒。

遗憾的是，

这位心情迫切的母亲并没有将这道令她窒息的题目完整地拍出来。

因此我们难以得知需要求得的究竟是

三座灯塔同时由暗变亮的时间或是由亮变暗的时间？

还是

三座灯塔同时处于亮或暗的时间？

所以我们需要对这道题的解法分为上述两种可能的情况来讨论。

第一种可能的题目要求

即要求的是三座灯塔同时被点亮的时间点，以及三座灯塔同时被熄灭的时间点。

从题目对于三座灯塔的描述来看，

灯塔A每6秒会被点亮一次，

灯塔B每8秒会被点亮一次，

灯塔C每10秒会被点亮一次。

另一个已知条件是，

三座灯塔会在一开始被同时点亮，随后开始不同的变化过程。

同时被点亮的时间点

我们不难想到，

只要找到6秒、8秒和10秒的所有公倍数，

就找到了三座灯塔同时由暗转明的所有时间点。

所以除了所有灯塔被同时点亮的第0秒，

之后的第120秒便是它们第二次共同由暗变亮的时间点。

以此类推，

之后但凡是120倍数的秒数都会是三座灯塔一同被点亮的时间点。

同时被熄灭的时间点

现在来到第2个子问题，在第几秒三座灯塔会同时被熄灭？

我们知道，在第一次被点亮后，

灯塔A会在第3秒熄灭，

灯塔B会在第4秒熄灭，

灯塔C则在第5秒熄灭。

由于第一次熄灭的时间点不同，

情况似乎看起来复杂了许多。

不过你是否思考过，

如果三座灯塔同时都处于各自明亮状态的最后一秒钟，

那就代表它们将在下一秒被同时熄灭！

因此，我们可以继续借助它们被同时点亮的条件，稍稍改变一下思路。

用灯塔A来举例子，

我们用O代表它的明亮状态，

X代表被熄灭的状态，

那么它的明暗交替就能够被标示为：OOOXXXOOOXXX…...

现在我们想找寻的是每3个O中第3个O出现的时间点，

就相当于需要找在被6整除时余数为3的时间点。

我们在这里用 mod 这个符号来展示这样一个关系，

a mod b = n代表的意思是a除以b的余数为n。

这样取余数的法则在数学上叫做模除(modulo)。

举个例子来说，

我们知道灯塔A第一次被点亮后处于明亮状态的最后一秒是第3秒，

我们便可以将其表示为3 mod 6 = 3；

灯塔A第二次由暗转亮，并处于明亮状态的最后一秒是第9秒，

便又有9 mod 6 = 3。

那么以此类推，对于灯塔B和灯塔C，

需要算出的就是除以8余数为4、

除以10余数为5的时间点了。

因为我们要找到的是三座灯塔共同处于明亮阶段最后一秒的时间点，将这个时间点用X表示，所以

X mod 10 = 5

X mod 8 = 4

X mod 6 = 3

可这样的一组看起来不简单的方程，真的能解出来吗？

首先看到第一行X mod 10 = 5，

我们要找的X可以被表示为X = 10a + 5，a是一个整数。

已知10是偶数，

10a必定是一个偶数，

而X = 10a + 5毫无疑问便是一个奇数。

再看到第二行的X mod 8 = 4，

展开后即为X = 8b + 4，

b也是一个整数。已知8是偶数，

8b必定是一个偶数，

X = 8b + 4也会是一个偶数，

可这就与我们前一个等式所要求的X必须是奇数相矛盾了。

因此这一组方程是绝不存在整数解的，

也就意味着不存在三座灯塔同时处于明亮状态的最后一秒，

也就是说没有任何一个时刻三座灯塔会同时熄灭。

第二种可能的题目要求

我们不妨再想一想如果题目可能询问的另一个问题：

到底什么时候三座灯塔是一起亮着，什么时候是一起暗着的呢？

这位母亲还特别细心地列出了一个表格。

记录了每一秒钟三座灯塔的情况。

1，2，3，6，25，33，43……

这些数字乍一看好像根本没有关联，

甚至让人想不到有什么共同的特点。

再思考一下，

当三盏灯一起亮的时候，

说明A正处在一个周期的前3秒，

B正处在周期的前4秒，

而C正处在它周期的前5秒。

前面我们讨论了一盏灯的明暗其实与除以它的周期的余数相关。

比如说A，当时间除以周期的余数是1-3的时候，它就是亮的。

以此类推，我们还能确定B和C的状态：

B在时间除以周期的余数是1-4的时候亮，

C在时间除以周期的余数是1-5的时候亮。

那么根据我们之前的思考，对于任意一个时间点X，

X mod 6 = 1~3

X mod 8 = 1~4

X mod 10 = 1~5

如果同时满足这三个条件，

我们便可以判定这个时候三盏灯都是亮着的。

那么现在，你一定知道怎样判定什么时候三座灯塔是一起暗的了。

答案是同时满足一下条件的时间点：

X mod 6 = 4~6

X mod 8 = 5~8

X mod 10 = 6~10

题目本身到这里就告一段落了。

但值得一提的是，这道灯塔题目所运用到的解法，

与数论中的一个重要定理也有着千丝万缕的关系，

这个定理叫做中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem），

也被称为孙子定理。

我们在两种解法中所运用到的余数方程组，

早在中国南北朝时期的《孙子算经》中就曾出现过，

其原文是：

“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

用白话来翻译便是要找到一个除以3余2，除以5余三，除以7余2的整数。

中国剩余定理则对于这样的同余方程组给出了是否有解的判定条件。

若给出如下的方程组：

X mod m1 = a1

X mod m2 = a2

……

X mod mn = an

中国剩余定理说明，

假设在所有整数(m1, m2,..., mn)全部都两两互质的情况下，

对于任何整数(a1, a2, …, an)来说，

这个方程组都是有解的。

互质的两个数字只有1是它们的公约数。

所以回到我们所讨论的第一种解法中，

求三座灯塔同时变暗的那一组同余方程组，

X mod 10 = 5

X mod 8 = 4

X mod 6 = 3

不难看出，

10、8和6完全不存在两两互质的关系，

根据中国剩余定理就不能够保证这样的方程组会有解，

而事实也告诉我们它是无解的。

这道题目看起来还真是有些小小的“超纲”。

小编们解了一通下来后，

不禁感叹，这样的题目

也着实是难为了各位麻麻了。

想不到吧？

一道拍的不全的美国小学数学题里

居然有这么多名堂，

竟隐藏着数论的大奥秘。

如果你让孩子想了解更多数论知识，

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