来源：量子位
2020，又一位数学大师仙逝。
7月6日，美国著名数学家葛立恒（Ronald Graham）因病逝世，享年85岁。
虽然很多数学爱好者不敢相信这个事实，但美国数学学会（AMS），已在官网发布了葛立恒的讣告：
这位曾经的AMS主席获得官网这样的评价——他是离散数学的领军人物。
与葛立恒合作过25篇论文的数学家Steve Butler也在社交媒体上证实了这一消息。
这位传奇数学家留给大众最重要的遗产，就是葛立恒数，这个数学证明中用到的最大数曾入选吉尼斯世界纪录为人熟知。
而葛立恒数仅仅是他的一点贡献，葛立恒还在组合数学、图论、调度理论、计算机科学等诸多领域都做出过巨大贡献。
我们都听过所谓的“六度理论”，即任意两人之间都可以通过不超过6个人的人脉关系联系起来，这一理论恰恰是由葛立恒1979年的一篇论文发展而来。
而且，葛立恒不仅仅是一名数学家，还是一名杂技演员、魔术师。
传奇数学家
如果你不熟悉葛立恒，那一定会觉得他的名字非常特殊。
Graham通常翻译做格雷厄姆，为何Ronald Graham却翻译成了“葛立恒”这样一个有中国特色的名字？
原因是葛立恒有一位华人妻子金芳蓉。金芳蓉也是图论领域的专家，夫妻二人同是加州大学圣迭戈分校的数学教授。
葛立恒一生共发表350多篇论文和书籍，其中与妻子合作的就有90多篇。
谈到和葛立恒的婚姻，金芳蓉这样描述：
“许多数学家不愿嫁给同专业的人。他们担心二人之间会过于竞争。我们不仅都是数学家，而且都在同一领域工作。因此，我们可以理解和欣赏对方的工作，而且我们可以一起工作，有时会取得很好的进展。”
在生活中，葛立恒与另一位天才数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）也有一段令人称颂的友谊，两人合作过30多篇论文。
葛立恒夫妇与埃尔德什葛立恒夫妇甚至还在家中留有一个专门的房间，给埃尔德什长期拜访居住。
由于埃尔德什比葛立恒大22岁，后来葛立恒还负责起埃尔德什的起居生活，包括管理收入、纳税还有帮他买衣服。
埃尔德什去世后，葛立恒负责打理由埃尔德什设立的奖金——埃尔德什奖，这笔奖金用于奖励那些解决某难题的青年才俊科学家，陶哲轩也曾获奖。
出生于1935年的葛立恒，于1962年获得了加州大学伯克利分校的博士学位，此后进入了AT&T的贝尔实验室工作，之后担任该实验室首席科学家。
在他的带领下，贝尔实验室建成了世界一流的离散数学和理论计算机科学研究中心。
在此期间，他曾在普林斯顿大学、斯坦福大学、加州理工学院、加州大学洛杉矶分校和戴维斯分校担任访问职位。葛立恒1999年被任命为加州大学圣迭戈分校的计算机与信息科学系主任。
2003年，葛立恒获得了美国数学学会颁发的斯蒂尔终身成就奖。
多才多艺的葛立恒，在此期间还有其他“副业”，他曾在1972年担任国际杂技演员协会主席。
葛立恒精通体操和蹦床，也是个会杂技的魔术师。
这些副业也给了他主业巨大的扶持。当葛立恒在研究数学问题受困时，他会在工作场所来一些杂耍动作放松头脑，获得灵感。
说到这里，你是否觉得葛立恒的人生已经足够开脑洞，而他最重要的葛立恒数才是把脑洞开到最大。
什么是葛立恒数
说到这里，我们进入烧脑环节。这个号称最大数的葛立恒数定义是这样的：
△ 图片引自waitbutwhy
为了搞清楚上面的标记到底是啥意思，我们先来介绍一个新的工具。
过去人们用科学记数法来表示大数实在是弱爆了，于是著名计算机学家高德纳想到了一个更好的办法。
没错，就是那位获得1974年图灵奖、还在写《计算机程序设计艺术》的计算机大神高德纳。
他提出的表示法被叫做高德纳箭头——通过不停给指数“套娃”的方式来构造大数。
一个高德纳箭头表示普通的指数：
3↑3 = 33 = 27
两个高德纳箭头表示指数嵌套的层数：
3↑↑3 = 3↑（3↑3）=3↑27 = 327 = 7625597484987
三个高德纳箭头是把二重箭头再算一遍：
3↑↑↑3 = 3↑↑（3↑↑3） = 3↑↑7625597484987 = ……
更直观的表示是这样的，总共嵌套了7625597484987层指数：
算到这里，3↑↑↑3已经是一个“天文”数字。算出它不可能，就是把它所有的指数写下来，也需要天文级别长度的纸条。
因为，如果我们每隔2厘米写一个3，那么得从地球写到太阳表面。
图片来源：waitbutwhy四个高德纳箭头就是把三箭头再嵌套一次：
3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑（3↑↑↑3） = 3↑↑↑（一个需要写到太阳的数） = ？？？
随着箭头的增长，数字的增长速度比指数函数不知道快多少倍。
然而这还仅仅是葛立恒数的第一层，也就是第二层的箭头数，第二层的数又是第三层的箭头数，……，葛立恒数这个“老千层饼”总共有64层。
这个数到底有多大？大到你的脑洞变成黑洞也装不下。
我们不仅没法算出来葛立恒数，甚至连葛立恒数位数的位数也无从知晓。
全宇宙的原子数量在葛立恒数面前就是0。假如你的脑子要装下葛立恒数，存储这个数的信息熵会大到让你的脑子变成黑洞。
至于葛立恒数的最后500位是这样的：
… 02425950695064738395657479136519351798334535362521430035401260267716226721604198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262195195387
葛立恒数有什么用
为了防杠，在这里我们需要强调：比葛立恒数大的数还有无穷多个！
比如给葛立恒数加一、乘二，都能得到比它更大的数，但这些数字都没有具体的数学意义。
葛立恒数是有数学意义的最大数字（直到TREE（3）出现）。
那么，一个研究离散数学的人是怎样和巨大数字打起了交道？这要从葛立恒研究的图论说起。
葛立恒当年研究了拉姆齐理论中的一个问题：给n维立方体的边上色。我们先从最简单的二维立方体，也就是正方形说起。
正方形总有有4个顶点，把这些顶点全部两两连起来，总共会有6条线。这种把所有点全部连起来的图，在数学上叫做完全图。
图片来源：YouTube @Numberphile如果我们规定6条边只能涂上红蓝两种颜色，那么在一个平面里会不会有单色的完全图呢？
葛立恒在5年前的科普视频里告诉我们，在正方形上，确实可以找到一种涂色方法，可以不出现单色的完全图。
红色边所连3点没有构成完全图，因为底边是蓝色（来源同上）那么到了3维情况会如何？立方体顶点间总共有28条连线，给它们按照以下方式上色。
你注意到了吗？有一个斜的平面中有个单色完全图，可是如果我们把最下面的边换成蓝色，那么就不能在任意一个平面内找到单色完全图了。
如果到4维、5维、6维……空间中的立方体，是不是存在一种涂色方法，让人找不到平面内的单色完全图呢？
通过具体的例子，我们发现2维、3维中立方体中，确实能找到这样的涂色方法、但是数学家们发现，当维度n大于一个数后，就再也找不到符合要求的涂色方法了。
至于n到底有多大，数学家到现在也没有完全证明，只能给出一个范围。
数学家已经证明n≥13（来源同上）而葛立恒证明，这个n最大不会超过葛立恒数。
《科学美国人》杂志的专栏作家Martin Gardner在大众科普中介绍了上述问题，葛立恒数的名称由此而来。
Gardner在文章里这样描述葛立恒数：
“其范围如此之大，以至是严肃数学证明中使用的最大数。”
虽然后来有更大的TREE（3）超越它，但是葛立恒数已经如此深入人心，以至于人们一提到最大数，首先就想到它。
今年我们已经失去了John Conway和葛立恒两位数学大师，令人惋惜。
斯人已逝，相信葛立恒已经和好友埃尔德什在另一个世界相聚。
如果寄托的哀思有一个数量限制的话，那一定是葛立恒数。
RIP
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