未来科学大奖周|张寿武:数学中的无解之解

未来科学大奖周|张寿武:数学中的无解之解
2019年11月17日 10:31 新浪科技
张寿武张寿武

  新浪科技讯 11月17日消息,2019未来科学大奖周于11月13-17日举行,作为全球最负盛名的科学类奖项活动之一,今年未来论坛着力打造为期一周的大奖周系列活动,旨在以更高的水准打造2019年度国际性科学盛宴。

  作为2019未来科学大奖周系列活动的一场国际科学盛宴,11月16日在京举办的未来科学大奖科学峰会大咖云集。本次科学峰会邀请到了15位世界顶级科学家莅临现场,分享前沿学术成果,探讨学科交叉创新,推进科学产业应用。这些全球最有智慧的大脑们通过最精彩的主题演讲、最深刻的交流,共同开启科学的想象和未来。普林斯顿大学数学系教授,美国艺术与科学学院院士,未来科学大奖科学委员会委员张寿武在峰会上发表了题为“数学中的无解之解”的演讲。

  张寿武的主要研究领域包括数论与代数几何,他于1996年证明了波戈莫洛夫猜想(Bogomolov conjecture)。此后他又推广了格罗斯-乍基亚公式(Gross-Zagier theorem),被称为“格罗斯-乍基亚-张公式”。

  以下为演讲全文:

  张寿武:早上好, 很高兴能够参加未来科学大奖周,我接到组委会邀请来做一个30分报告,这对我来说是不太容易事情,我之前都是给数学系大学生、研究生或者对数学有兴趣中学生做报告, 所以第一次给公众报告,讲解未来科学的题目,对我来讲有点沉重。 我讲点轻松东西。今天听众大人比昨天多些;昨天碰到很多中学生来听报告。中学生通常考虑的问题是念什么专业最有前途。在这个年代可怕有两个主题是最好的专业,一个是计算机,一个是金融,这俩都可以给你带来丰厚的工资。在我们年代也一样,我们年代叫做学好数理化,走遍天下都不怕。我觉得数理化最有用的大概是化学,因为像家里面所有的东西基本都是化学制品。信不信由你,当年我也考上中山大学化学系,进入化学之后发现化学不好学。然后就去看物理书,发现物理也不好学,学物理要把数学学好,所以我转到数学系去了。数学领域分成两类,一类叫做应用数学家,他们能解决问题。还有一类叫做纯粹数学家,他们解决不了问题。我发现我没办法跟应用数学家在一起拼,因为他们解题水平太高了,所以我就变成了一个纯粹数学家。纯粹数学家关注那些不能解的问题,所以就瞎掰,所以我今天的报告主要是瞎掰,基本上没有什么用。但是如果你仔细听,你会发现这些瞎掰的数学也不容易做。

  我的第一部分是万物皆数。万物皆数这个道理是古希腊的大哲学家毕达格拉斯提出来的,他通过研究乐率和星座,发现万事万物都与数字有关系。所以在研究世界之前,应当把数字研究清楚。他办了一个学校,是一个秘密学校,这个学校里面主要学习哲学、音乐、天文和数学。他把许多事都标上数,比如说1代表推理,2代表意见,3代表和谐,4代表公正。5代表婚姻和爱情,奇数代表阳,偶数代表阴。这就是他的观点。

  毕达格拉斯的数是指有理数; 先有整数,整数之后再有成分数。有了整数之后我们就可以解所谓的线性方程。比如说3X等于5,那么X等于几,5/3,这就是毕达格拉斯当年的研究。但毕达格拉斯很快发现光有有理数是不够的,大家知道勾股定理,但你如果到美国念书,他就不叫勾股定理,而叫毕达格拉斯定理。我们现在虽然把它叫做毕达格拉斯定理,但其实并不是毕达格拉斯最先得出的,历史记载都比这早的多。但是这些定理的名字都归功为毕达格拉斯。

  他有一个学生在研究单位正方形的对角线时发现了问题,他发现对角线根号2不是个有理数。这个问题就非常严重了,因为毕达格拉斯认为所有的数都是应当是有理数。他学生发现了这一问题,发现之后他还告诉别人,对毕达格拉斯来说这可是不得了的事,后来他就把这个学生给沉到海里去了。这位学生发现了无理数这件事使他付出了生命的代价。有了无理数,我们现在就知道二次方程可以求解,并且我们的中学生可以得出这个解,这是很了不得的事情。若没有根号,我们的求解将会很困难。

  现在又到了三次方程。三次方程求解也是一个很长的历史,在1500年以前,中国人已经知道数值解,这是在数值解领域中做的比较早的人。但是在精确解方面,中国人没有研究过。我们知道中国人不会研究没用的东西,数值解有用。关于三次方程的数学解,也有一个很长的故事,首先这些故事都是发生在几百年以前意大利,首先有一个数学家叫做法罗,他发现了解一些三次方程的方法,但是他还没有负数的概念,所以解方程比较被动,把正的一边挪到那一边,负的挪到那一边,正的等于正的,所以他解方程很困难。我们现在叫配方,那个年代连解都不能解,所以更没法配方。他发现解一类的方程,但是这个哥们儿写在小本上,他死了之后,交给他的女婿,他女婿也是个数学家,他女婿继承了他的位置并把这个方法保存起来。他另外一个学生菲尔斯到处吹嘘我知道怎么解三次方程。后来碰到另外一个数学家,叫做塔格里尔,塔格里尔他也知道怎么解三次方程,但是他们两个解的三次方程不一样。后来他们决定要打一次赌,要比一比,你出30道题,我出30道题,咱们就拼一拼。结果塔格里尔在比赛的前一天整整算了一天,就把解菲尔斯三次那些方程的方法弄出来了,但菲尔斯忙活了一天都没有解出塔格里尔的方程。于是塔格里尔就赢了。那时候不像现在,那时如果你知道怎么解方程,就会把这个证明写出来,放在兜里,作为秘密保存下来。

  另外一个意大利学家,卡达那,当时在写一本书,他想知道塔格里尔怎么解方程,他问“你能不能把这个秘密告诉我,我坚决不会告诉别人,等到多少年之后我再来发表。”卡达那后来从别的途径知道很早之前菲尔斯已经知道这个证明了,他把这个书写出来发表了。后来塔格里尔就很生气,你跟我发誓说不要发表这个证明,你现在怎么给写出来了发表。后来塔格里尔就要跟塔格里尔打赌,又要去比赛。他派了一个学生叫法拉力,法拉力跟塔格里尔比赛,比赛完成之后,后面这哥们儿更高明,他不只是知道负数,他还知道根复数,结果法拉力就赢了,赢了之后塔格里尔不只是把钱都输光了,职位也丢了。那时候做数学危险系数很高,前面丢了命,后面工作都没有了,这就是三次方程的例子。其实到今天我们有正数和负数的概念之后,这个解其实并不复杂。

  把三次方程跟第二次方程做一个比较,把一个方程变成三个方程,后边两个方程很容易求解。也就是X, Y三次方程等于Q,前面的Y, Z等于P,前面一个三次方把这个求完,稍微学一点中学数学,这方程就能求解了。在那个年代不容易,三次方程就是这个样子。关于四次方程,四次方程刚才前面的方法也能求解。

  第二部分,现在我讲五次方程。五次方程困扰数学家许久。这个问题被250年后的阿贝尔解决了。阿贝尔这个人是一个传奇式的人物。打一个最简单的例子,大家知道科学里有诺贝尔奖,数学里面有菲尔兹奖,大家通常把菲尔兹奖和诺贝尔奖做比较。但这是错的。在1899年的时候,数学家们就提出来要用阿贝尔的名字做一个奖来代替诺贝尔奖,由于瑞典和挪威当时分裂了,这个事儿就耽搁,这事儿耽搁了差不多一百年,所以阿贝尔奖第一次颁奖是2003年。你就知道阿贝尔这个人不是简单的人。阿贝尔是个才情极高的数学家,但是他这个人只活了26岁,他是一个非常不容易的人。他早年在做数学的时候就已经发表过很多文章,但是不知道什么样的原因,他的很多工作都被拒绝。他第一次证明了五次方程不可解的时候,用六页纸写下来,他把它讲稿寄给高斯,高斯没理他。他后来在杂志发表了这个证明,当很多人不相信。原因是证明太简略。他为什么不写长一点? 他没钱。现在发表文章把文章往杂志一投,审一下稿就发了。但是那时你如果发表文章根据页数交钱。但是他那时候没有钱,所以这个文章很短。你不要笑话,前苏联也是这样,前苏联有很多数学家写的文章很短,我们现在认为苏联数学家写的很精炼,法国数学家写的很啰嗦,其实不是,苏联数学家没钱,所以他只能是写的那么短。所以阿贝尔这个五次方程不可解的东西,在过了很多年之后又重新给了证明。他为了证明五次方程不可解,他引入了群论,所以阿贝尔是群论的创始人之一。阿贝尔几次到哥廷根到巴黎去跟大数学家切磋,都以失败告终,因为他写东西写的不清楚,太精炼。他所有的荣誉都是在他死后得到的,他是得肺结核死的。他最悲惨的时候,他死了之后几天他在哥廷根的位置才批下来,寄到他家里面,所以是很悲惨的例子。今天的阿贝尔奖就是为了纪念他。

  五次方程不可解还涉及另外一个数学家——伽罗瓦。伽罗瓦是一个法学数学家,你看看他的岁数,他大概活了20岁。这个数学家小时候就有很高的数学天赋,他当时想考法国高等工科学院,相当于今天的清华大学,当时是法国数学最好的大学,相当于我们早期清华大学。清华大学三四十年代方程数学系是最好。他考了两次高工也没有考上,只好考了法国高等师范大学,相当于早期的北京大学。不过今天的法国高师很厉害, 我们的北京大学也很厉害。

  伽罗瓦他有很强的数学天赋,但是他是一个政治热衷者,他常常卷入政治斗争。他是共和派,以前分保皇派和共和派,他为了共和派上街游行,坐牢。坐牢时候,在牢房里面碰见一个姑娘,他喜欢这个姑娘。出狱后就为了那个姑娘去决斗,他知道他的对手比他强太多了,他也知道他肯定必死无疑,在临死前五天把他所有的写下来,写在小本本里面,然后寄给可柯西和傅里叶。这两个数学家也不认为他的东西怎么的,一放放了几十年,几十年伽罗瓦的东西才发表,他所有的东西都是对的,而且他也独立发表了群论。所以我讲了两个天才,他比阿贝尔的高明之处在于阿贝尔说一般的五次方程不可解,伽罗瓦是说随便你给我五次方程,我在几步之内就知道它可解不可解。你看有些数学家真是疯子,为了政治、为了爱情,把命都丢掉了,但是他丢了命确实跟数学没有关系,如果他好好做数学应该没有问题。

  所以到这个地方我要打一个成语,过一会儿到我的课结束之后会把谜底揭示出来。“方程无解”打一成语,你如果知道先别说。

  第三部分,现代化一点的叫做等幂和问题,这是个很古老的问题。这个古老的问题是什么,我给一个整数,什么时候整数可以写成两个有理数的k次幂的和?这是一个很经典的问题。比如说1等于3/5的平方加4/5的平方,这跟前面有什么关系,如果前面所有解的东西都是一元多次方程,一个方程只有一个变元,这些东西求解不求解问题相对来讲简单一点。但是现在一个方程里面有两个变量在里面。要求在整数或有理数求解。这个问题复杂得多,多了一个维度。

  这个问题也是很早的历史,应该是最早在欧几里得的《几何原本》里面就遇到这个问题,欧几里得这个书也有两千多年的历史。它的印刷次数仅次于圣经。不过专门研究这些整数方程其实是在另外一本书,是公元后两百年,有一个叫丢番图的人。他写了一本书叫《算术》的书。书里面大概有几百套个数学问题,他的书跟中国《九章算数》差不多平行,九章算数也列了几百套问题。在那里面提到哪些数可以写成两个数平方。丢番图通过一些演算之后,他猜测一个素数能够写成两个数的平方,当且仅当这个数除4余1; 比如5,5是1的平方加2的平方,11就不能写成两个数的平方和,因为你把11除完4之后余3,对吧,17没问题,4的平方和1的平方。他的猜想差不多花了1000多年之后才被费马证明。费马是一个传奇式的人物,首先他不是一个数学家,他是一个法官,作为法官不能跟老百姓平常聊天,因为怕影响到判决公正性。他平时没什么事儿就喜欢做一些数学。做完数学之后,他就写信写给朋友,他做完之后把结论写信告诉朋友,但是他不把证明写给朋友,所以这就变成一个非常有趣的事情,他证了很多定理,都叫做费马定理,但是都没有证明。他其中最出名的一个例子,大家知道他把刚才前面丢番图的《算术》,那本书里面碰到一个刚刚平方和的问题,被费马推广成高次和问题,然后他上面写我已经找到一个绝妙的证明,但是他说那书扉页太小,我写不下来。

  费马一辈子列出了很多定理,许多年之后另外一个大数学家叫做欧拉,欧拉年轻的时候名气也不大,他就把费马每一条定理单独证一遍,但是最后一个定理证不出来,那定理叫做费马最后定理。但是这个定理300年之后被普林斯顿的教授证明了。我今天讲的是费马第一个出奇意料的定理,他证明了一个没有平方因子的有理数是两个数的有理和,这个数分解之后,每个素因子要么是2,要么是4N+1,2是很好办的事情,但是他把4N+1证出来了。

  他在某一年的圣诞节,给他一个朋友写了一封信,他说我已经证出来一个有理数是两个平方数的和,并称其解的绝对妙。一个数能够写成两个数平方和的话,费马说他还可以找一个更小的数,也是满足同样的条件。一直推,推到最后也推不下去了,肯定就做出来了。然后费马给他这个办法提个名字叫无限下降法,无限下降法是数学领域一个分支数论里面一个最经典的方法,同样他的证明从来没有细节。这个证明的细节是欧拉多年之后证出来的。

  费马还有很多有趣的事情,大家知道微积分通常是牛顿发明的,如果你把牛顿的数学原理里面打开,牛顿是这样说的,他的工作都是受费马的工作的影响,因为费马在当年没有微积分的情况下已经知道怎么求解极值和面积,费马甚至知道什么叫变分法,这是很了不起的。

  我最后要讲的这一张幻灯片是关于未来数学,前面都是古典的数学。我前面说二次和问题解决了,那么三次四次怎么解决?剩下的问题我们所知甚少。我们第一个猜想是,一个整数能够写成两个有理数的立方和的概率只有1/2。这是很邪门的,你有时候能做有时候不能做,只有1/2的机会。要证明这个猜想,首先要解决另外一个大猜想,就是2000年克雷数学研究所的千禧问题,即解决了问题就拿100万美金,也不需要像我们未来科学大奖评奖,连评都不评,只要文章拿出来给你钱。关于四次以上的等幂和问题我们知道的更少。1983年法尔廷斯证明这个方程如果有有理解,最多只有有限多个解。但是你要知道这个问题的难处在于是求有理数解,如果整数还好办一点。由于他证明有这么一个结果,1986年他拿到菲尔斯奖。

  另外一个数学家叫怀尔斯。怀尔斯他是说在n=1的情况下怎么解,就是是费马当年没有时间写的那个定理的证明, 350年之后,人们认为费马没有证明,他只是胡说。

  另外一个关于高次等幂和问题的猜想叫做ABC猜想,我没有时间讲,如果ABC猜想被证实的话,这个方程不只是知道有限多个有理解,应该有个具体的程序来求解,我把它方程输入计算机之后,计算机程序就能帮我解个数出来。法尔廷斯用了反证法,所以他的方法不能用来求具体解。我们未来数学当中有两大猜想,一个是BSD猜想,一个是ABC猜想。我想今天下午张益唐会讲另外一个猜想,黎曼猜想,数论里面差不多有这三大猜想在这里面。这最后一页幻灯片就当今天大家听听笑话,不是真的做数学,你要真的做数学没有问题,大家想想看,代价很大,要么是用生命代价,要么饥寒交迫,但是今天社会还是好很多,我们国家对数学重视程度在如今跟以往没法比。

  现在我介绍一些人们对数学家的描述。达尔文说,一位数学家就是一个黑屋子的瞎子,在找一个本不存在的黑帽子。这是数学的无解之解。毕达哥拉斯是第一个哲学家,现在有两种宇宙:感性宇宙和理性宇宙,物理化学是感性宇宙,理性宇宙想象大的东西也是宇宙。所以数学你可以想象。另外一个叫Erdos的数学家说,数学家就是把咖啡转化成定理的机器。数学家没事儿就去喝咖啡,边喝咖啡边做数学,然后喝完也做不出来,那就继续喝,直到把问题做出来。

  那么我要揭开前面方程谜语的谜底,方程无解——求之不得。对数学家来说方程无解是一件最有趣的事情,意思就是解本没有解的方程,我们才能够有自己的研究,才能够有自己的生命,好,谢谢大家。

新浪科技公众号
新浪科技公众号

“掌”握科技鲜闻 (微信搜索techsina或扫描左侧二维码关注)

创事记

科学探索

科学大家

苹果汇

众测

专题

官方微博

新浪科技 新浪数码 新浪手机 科学探索 苹果汇 新浪众测

公众号

新浪科技

新浪科技为你带来最新鲜的科技资讯

苹果汇

苹果汇为你带来最新鲜的苹果产品新闻

新浪众测

新酷产品第一时间免费试玩

新浪探索

提供最新的科学家新闻,精彩的震撼图片