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史海钩沉:“第一次数学危机”是如何引发的


http://www.sina.com.cn 2004年01月04日 11:08 中国青年报

  “第一次数学危机”是如何引发的

  ――谈希帕索斯悖论与芝诺悖论

  沈跃春

  大约在公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了:等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。这个不可通约量的发现和芝诺悖论一起引发了“第一次数学危机”。

  希帕索斯正是因为这一数学发现,而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海,处以“淹死”的惩罚。因为他竟然在宇宙间搞出了这样一个东西来否定毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

  毕达哥拉斯学派是古希腊最古老的哲学学派之一。据说这个学派有两条最能概括他们思想特色的格言:“什么最智慧?只有数目”,“什么最美好?只有和谐”。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此。

  直角三角形的直角边与其斜边不可通约,这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条,而且冲击着当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。所以,通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾,叫做希帕索斯悖论。

  这一悖论的发现,震惊了当时的西方数学界,也引起了古希腊人数学观念的更新。这场“危机”表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的。从此以后,希腊人开始由重视计算转向重视推理,由重视算术转向重视几何学,并由此建立了几何公理体系。其实,这是数学思想上的一次巨大革命!

  自无理数发现以后,埃利亚派的芝诺又“把离散与连续的问题惹人注意地提了出来”。按照西方学术界一般的说法,除了希帕索斯悖论外,芝诺悖论也是导致“第一次数学危机”的主要因素。

  据说,芝诺和他的老师巴门尼德一样,原来也是毕达哥拉斯派的学者。芝诺提出关于运动的“四个悖论”,与其说是为了他老师的观点进行辩护,不如说是为了攻击毕达哥拉斯的数学理论的基础。这四个悖论可以概述如下:

  第一个是二分法悖论;第二个是阿基里斯追不上乌龟的悖论;第三个是“飞矢不动”的悖论;第四个是“运动场悖论”。

  芝诺关于运动的“四个悖论”所得出的结论明显地与人们的直觉相矛盾,但在当时却被认为是难以驳倒的。其实,它们之间看起来似乎是各不相关的,但它们总的思想却极其深刻地揭露了运动的矛盾本质。面对芝诺悖论,当时的科学理论包括数学理论似乎都陷入了不可解决的矛盾困境。

  当时,人们对时间和空间有两种对立的看法:一是空间和时间是无限可分的;二是空间和时间是由不可分的小段组成的(像放电影那样)。按照第一种看法,运动是连续的;按照第二种看法,运动将是一连串的小跳动。芝诺悖论正是针对上述两种看法提出来的。从思想史上看,芝诺悖论虽然提出了如何理解有限与无限、间接与连续、时间与空间、运动与静止等问题,但并未解决这些问题。当然,芝诺视运动为矛盾而加以否定时,客观上却正好揭示了运动的矛盾本质。亚里士多德在经验范围内曾逐一反驳了芝诺的四个论证,认为它们完全是错误的。但是,他并没有从概念上揭示运动的矛盾本质。相反,芝诺通过概念的论证,发现了运动的矛盾本质,这样他的思想反而显得更深刻一些。因此,黑格尔称赞他为概念辩证法的创始人。

  悖论的发现是否意味着数学理论的垮台呢?回答是否定的。我们认为,无矛盾性对于一个理论系统来说是很重要的,但无矛盾性并不是某一理论系统具有真理性的充分条件。诚如法国哲学家帕斯卡尔所说,“矛盾不是假的标志,不矛盾也不是真的标志”。应当指出的是,历史上发现的希帕索斯悖论和芝诺悖论,都是从毕达哥拉斯学派的理论系统中引出来的,它们所揭示的矛盾是极其深刻的。实际上,希帕索斯悖论和芝诺悖论既直接引发了“第一次数学危机”,同时也刺激了数学和逻辑学的发展。第一次数学危机后出版了两本经典著作:一是关于数学的第一本经典著作———欧几里德的《几何原本》;二是关于逻辑学问题的第一本经典著作———亚里士多德的《工具论》。这两本经典著作标志着公理几何学和逻辑学的诞生,成为数学发展史上具有重大意义的事件。



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