百年未解的谜题：庞加莱猜想

　　百年未解的谜题

　　十几年来，没有哪一届国际数学家大会，能像8月22日将在西班牙马德里召开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目。

　　早在几个月前，ICM2006的网站上，就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难

题的证明，将在本届大会上宣布。”尽管做出欲说还休的姿态，但看一眼会议的日程表——8月22日17:15至18:15，里查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)，题目:庞加莱猜想。答案，已经无需再言。

　　一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。

　　1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。

　　20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。

　　50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn's Lemma)而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。

　　这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。

　　一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。

　　1966年菲尔茨奖得主斯梅尔(Smale)，在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。

　　10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼(Freed man)将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

　　然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。

　　人们在期待一个新的工具的出现。

　　“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”

　　可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？

　　工具有了

　　里查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。

　　1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”

　　Ricci流，以

　　第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕(Witten)，坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。

　　1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？

　　在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。

　　1995年，丘成桐来到北京。这次，跟他一起来的，还有汉密尔顿。做演讲的时候，丘成桐提出了口号，向汉密尔顿学习。随后，又在新建的晨兴数学中心，开设了关于Ricci流的讨论班。当时在中山大学的朱熹平，便在这段时间跟了上来。

　　朱熹平最早的研究方向，是与Ricci流关系并不大的偏微分方程。但是，遇到丘成桐后，他开始转型。“那段时间很痛苦的，几乎没什么文章出来。”朱熹平说，“幸好中山大学的制度，工资高，收入只有很少一部分与课题基金和论文挂钩，这才坚持下来。”在报章一度的渲染中，专心研究Ricci流和三维庞加莱猜想的朱熹平，被描述为几年没有论文发表。问及此事，朱熹平哈哈一笑:“我有那么差吗？”事实上，在很短的时间内，他就完成了转型，而且在《数学发明》等著名数学专业杂志上，也先后发表过多篇文章。

　　汉密尔顿提出的Ricci流，实际上可以分为两类。一种是在实流形上作的实Ricci流，它与三维庞加莱猜想的证明密切相关，另一种是在复流形上作的复Ricci流，它有很多重要的应用，但与庞加莱猜想无关。最早跟随汉密尔顿进行Ricci流研究的曹怀东，主要的方向，其实是复Ricci流。丘成桐的其他一些弟子也不例外。直到后期，部分人才开始转到实Ricci流的方向。后转型的朱熹平，因为用功、投入和耐心，没过多久，就成为国内做实Ricci流最出色的数学家，而他的实干与低调，也赢得了丘成桐格外的青睐。

　　然而，尽管曹怀东、朱熹平以及朱的学生陈兵龙在Ricci流的研究上取得了很多进展，但是，无论是汉密尔顿还是他们，几经周折，都没能找出解决奇点的好办法。随着拓扑手术次数的增加，奇点也会递增，最终失去控制。几年的时间里，在这个最关键的问题上，研究几乎停滞了。

　　就在关于Ricci流的工作陷入山重水复疑无路的情形持续了几年之后，远在圣彼得堡的一位特立独行的大胡子数学家，却在几乎不为外界所知的半隐居中，找到了解决问题的柳暗花明又一村。

　　格里沙！

　　2002年11月12日，当时在麻省理工学院数学系任教授的田刚在信箱中看到一封显示发件人为“格利高里·佩雷尔曼”(Grigori Perelman)的邮件。

　　标题:新的预印本

　　亲爱的田，

　　可否请你关注我发表在arXiv数学网站上的论文，DG 0211159。

　　摘要:我们提出了一个Ricci流的单调式，在所有的维度中成立且无需曲率假设……我们还验证了与理查德·汉密尔顿关于瑟斯顿封闭三维流形几何化猜想证明的纲领相关的一些假设，使用先前关于局部曲率下界的塌陷结果，给出了对这一猜想的证明概要。

　　格里沙·佩雷尔曼

　　三天之后的晚上，田刚写下了这封回信。

　　标题:回复:新的预印本

　　亲爱的格里沙，我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就这一工作做几个演讲？

　　田刚

　　佩雷尔曼的全名，是格利高里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼，但熟悉的人，通常都叫他格里沙。生于1966年的佩雷尔曼，中学时就读的是著名的圣彼得堡第239中，这所学校，一向以高等数学和物理教学闻名。1982年，作为一名高中学生，佩雷尔曼参加了国际数学奥林匹克竞赛，并以满分的成绩获得金牌。此后，他在圣彼得堡大学获得了博士学位，接着在斯特科洛夫研究所(Steklov Institute of Mathematics)谋得职位。1992年秋天，佩雷尔曼前往美国纽约大学库朗研究所访问，随后，又于1993年春天，到了纽约州立大学的石溪分校。就是在这期间，当时就职于库朗研究所的田刚认识了佩雷尔曼。

　　田刚回忆道，那时候，佩雷尔曼的研究方向，并不是几何分析和Ricci流，而是度量几何。“他的思路很敏捷，做东西技术性和技巧性很强，而且很严谨。”1994年，在加州大学伯克利分校任职米勒访问学者(Miller Fellow)时，佩雷尔曼证明了著名的灵魂猜测(Soul Conjecture)，为他赢得了国际声誉。此外，他还曾被邀请在国际数学家大会上做报告。大约在1994年左右，汉密尔顿到库朗研究所作了一个关于Ricci流的报告，佩雷尔曼也是听众之一。“让大家都有点惊讶的是，他居然提了一个关于奇点的问题”——如何解决手术过程中产生的奇点，正是证明庞加莱猜想中的关键一步——“现在看来，那个时候，佩雷尔曼就应该已经对解决庞加莱猜想产生了兴趣。”田刚说。

　　在米勒访问学者期满后，佩雷尔曼回到圣彼得堡，继续“安静地”任职于斯特科洛夫研究所。有一次，田刚遇到一位当时曾与佩雷尔曼共事的数学家，向他打听佩雷尔曼的近况。得到的消息是，佩雷尔曼几乎已经离群索居，没人知道他在做些什么。然后，就到了2002年11月。就像阿拉丁神灯中的神仙一样，佩雷尔曼现身了，而且，带着有可能是正确的庞加莱猜想的证明论文。

　　佩雷尔曼的第一篇论文，发表在arXiv网站上。这是一个著名的学术论文网站，最开始的用户多为物理学家，随后，数学家们也纷纷在上面发表自己的论文预印本，以供同行参照评议。不过，通常而言，发表在arXiv网站上的文章不被认为是正式发表的学术论文。

　　建立一个关键的椭圆形估计，应用粗细分解，来给出瑟斯顿几何化猜测的证明，这被认为是佩雷尔曼的“神来之笔”。在随后发表于网上的第二篇论文中，佩雷尔曼给出了更多的证明细节。看过论文的田刚，益发认识到这项工作的重要性。而“几乎是幸运的”，2002年12月3日，佩雷尔曼给田刚回了信，表示愿意到麻省理工学院演讲。

　　在一般的描述中，佩雷尔曼是一个怪人:胡子头发都很长，不修边幅，衣服经常很久不洗。今年40岁的他，至今单身，与母亲生活在一起。因为父亲去世早，佩雷尔曼事母至孝，又一种说法是，当时他在美国，曾经有很多学校邀请他任教，但佩雷尔曼坚持回国，原因就是牵挂母亲。2003年访问麻省理工学院时，他的条件之一，就是要携母同行。

　　不过，在田刚的眼中，佩雷尔曼的“怪”，只是远离物质化和名利世界的一种表现。在讨论学术问题时，他和最严谨的数学家一样，愿意就每一个细节认真地回答。2003年的4月7日、9日和11日，佩雷尔曼在麻省理工学院作了3个演讲，除此以外，在两周的访问时间里，他还作了一系列报告，时间超过20个小时，非常仔细地回答每一个问题。这时候，庞加莱猜想被证明的消息，开始流传出去，《纽约时报》和“数学世界”(MathWorld)网站都刊登了相应的消息。

　　然而，就是在麻省理工学院的讲座后，有数学家表示，佩雷尔曼的文章存在“gaps”(漏洞)，无法读通。就在所有人都期待佩雷尔曼就此作出解释，补全文章的细节之时，佩雷尔曼却不置一词，翩如惊龙，自此隐居不出。两篇文章放在网上，3年多来，没有显示任何准备交由学术杂志发表的迹象。这给曾规定，必须在学术刊物上发表论文才有资格被颁给千年数学问题奖金的克雷数学研究所，出了个不大不小的难题。在接受本刊记者采访时，克雷所所长卡尔森表示，不排除为此修改规定的可能。

　　可是，佩雷尔曼会接受这笔奖金吗？最近的消息，是他因为不愿参与江湖中的名利之争，已经从斯特科洛夫研究所辞职，靠着10年前在美国访问时的积蓄维生，躲起来思考另一个大问题。因为佩雷尔曼曾经拒绝领取欧洲数学会颁发的一个奖项，很多人怀疑，菲尔茨奖和克雷所的百万悬赏，都未必能打动这个世外高人的心。

　　三驾马车

　　如果把庞加莱猜想比作一局棋，在汉密尔顿和佩雷尔曼下完最关键的几步后，余下的，已经是收官的工作。

　　不能说这个工作不重要。“高手或许一步可以看到7步后的变化，棋艺稍逊的人或许只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教授说，“只有完完整整把每一步的走法写下来，才能算是一个完整的证明。”

　　而在丘成桐看来，需要做的工作，可能比补上缺失的几步还要多。“一篇论文，从2002年放到现在，3年半的时间，为什么一直没有人站出来说看得懂？关键是其中还有很多问题没有解决。”他认为的关键问题，是几何化猜想，而天降大任于斯人的对象，就是朱熹平和曹怀东。

　　2005年5月中旬，为了纪念一年前刚刚去世的陈省身先生，丘成桐在哈佛大学组织了一个微分几何的研讨会。朱熹平也被邀请参加这个会议。会议间隙，丘成桐问朱熹平:“做得怎么样了？”

　　“基本上完成了，可是要到暑假的时候才能全部写出来。”

　　丘成桐当即决定:“你来哈佛，专门讲这个问题。”经哈佛数学系教授表决同意，这一年9月，朱熹平来到了哈佛，向这一领域的专家讲解他和曹怀东的证明论文。每周讲3个小时，一共讲了70多个小时，这些内容与曹怀东的研究结果汇集整理之后，就是后来发表在《亚洲数学杂志》上的328页的《庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明——汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》(A Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。

　　《亚洲数学杂志》是丘成桐主编的一本相对比较年轻的杂志。与公认排名前四的《美国数学年刊》、德国的《数学发明》、《美国数学会杂志》和瑞典的《数学学报》相比，分量上的确稍显不足。而且，《亚洲数学杂志》的两名编委，斯瑞尼瓦斯(Srinivas)和普拉萨德(Prasad)在论文发表后写给编委会的邮件中也指出过一些问题:比如，最终发表论文的题目与最初征询编委同意时的题目不一致;直到杂志出版后近半个月的6月13日，杂志全文仍无法下载，与以往惯例不符;论文的审稿没有遵循复杂的程序，留给编委评论的时间也只有3天。之所以会存在这些问题，丘成桐的解释是——“竞争”。虽然在程序上或有可商榷之处，但丘成桐敢于用自己的学术声誉为朱熹平和曹怀东的工作担保:“完完整整，每一步写得清清楚楚，第一次给出了全部的证明，可以用来做教科书。”在接受《科学时报》记者采访时，丘成桐说。而汉密尔顿，则给出了如下的评价:“曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上，给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解。”

　　的确，竞争是激烈的。就在《亚洲数学杂志》6月号出版前的5月25日，密歇根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott)，把名为“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman's Papers)的192页文章放到了arXiv网站上。这是对他们2004年关于佩雷尔曼部分工作的注记的修改和补充。

　　比这再早一些时间，2004年9月，田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩根(John Morgan)决定合作，在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留下的笔记的基础上，撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿，得到了克雷数学研究所的著述专项资助(Book Fellow)。2006年5月，摩根和田刚合作完成的书稿提交给了克雷数学研究所，并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。而此时，国际数学家大会已确定，将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的公众报告。

　　3个小组，3驾马车，彼此的差异在哪里？在接受本刊记者采访时，摩根说:“2004年8、9月间，我和克莱纳、洛特以及田刚和其他一些人共同参加了一次学术会议。我们研读了佩雷尔曼的第二篇文章。这之后，我认为，我们彼此都觉得佩雷尔曼了解问题所在。我和田刚对庞加莱猜想感兴趣，并且给出了我们认为的完整的证明，而克莱纳和洛特、曹怀东和朱熹平的文章，关心的是整个几何化猜想的问题，并把问题的范围缩小到Shioya-Yamaguchi的工作的范围内。而这项工作，反过来要借助佩雷尔曼自1990年以来未发表的文章。我的感觉是，在最后几步中所引用的数据，可能需要进行更彻底细致的检查。”不过，在克雷研究所所长卡尔森的眼中，事情，也许并没有那么复杂。“克莱纳和洛特，曹怀东和朱熹平，摩根和田刚，3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的贡献。能够有3个独立的数学家小组来做这件事，当然比只有一个小组要好得多了。”

　　而且，所有的竞争，仿佛只是让佩雷尔曼最终获得菲尔茨奖的成算，变得更大。

　　如果一切如普遍的预料，那么，在数学论文日益冗长繁复的今日，佩雷尔曼将创下一个新的纪录:可能为他赢来数学家最高荣誉的两篇网上论文，分别只有22页和39页。

　　“大张旗鼓地面对一个众人皆知的难题，将会冒很大的风险。”1982年的菲尔茨奖得主阿兰·孔曾经在一篇论文的序言中如此写道，“以后人们记住他的将是他的失败，而不是别的。随着年龄的增大，我认识到‘安全地’到达生命的终点是一种很好的自我保护的选择。”对于在过去20年的时间里一直致力于攀登数学世界里的珠穆朗玛峰——黎曼猜想——的阿兰·孔来说，这段话，更像是一段幽默的自嘲。庞加莱猜想的故事，也许会在几个星期、几个月或者几年内迎来一个圆满的——或许也是出人意料的——结局，但它所开拓的疆域，和数学世界广袤无垠充满挑战与乐趣的地平线，还将无穷无尽的向远方延伸。

　　故事，永远在继续……-

　　(感谢《科学时报》王丹红、易蓉蓉提供资料)