数学正进退两难

　　张国

　　6月12日晚，在天津南开大学省身楼的一场演讲中，面对来自中国、美国、意大利、日本等国家和地区的数学家、物理学家、生物学家和工程专家们，现执教于美国普林斯顿大学数学系、应用数学及计算数学研究所的数学家鄂维南教授用“dilemma”(意为“进退两难的局面”)一词来形容数学走到今天所面临的困境。被誉为“科学的语言”的数学，一方面

在现代科学研究及整个社会中发挥的作用越来越大；另一方面，在很多活跃的领域，数学家却没有参与进去。

　　这位兼任

　　“我们必须超越数学的传统边界来观察问题，数学正面临前所未有的机遇和挑战，教育改革是解决问题的根本出路。整个应用数学界，无论美国还是欧洲都面临同样的问题：课堂上传授的与研究中需要的二者之间存在脱节。譬如我们的研究中经常用到随机工具，但很少有应用数学家有良好的随机分析方面的训练。我们经常需要微观物理学的概念和思想，但很少有应用数学家有这方面的良好背景，比如统计力学和量子力学的背景。谁把这些问题优先解决了，就会走到前面去。这是非常迫切的事情。”

　　鄂维南此次是前来参加在天津

　　他认为：计算机的发展给数学带来了前所未有的机会。计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大提高了人们的计算能力、搜集和分析海量数据的能力、获取信息的能力。今天的数学和其他科学、工程和技术之间的联系比以前更加紧密。很多科学前沿问题遇到的主要瓶颈是数学问题。但数学的角色不仅仅是一个“助手”，而是“坐到驾驶座上的驾驶员”。

　　“想象一下，如果牛顿当时有我们现在的计算能力，会省出多少时间？”鄂维南举例说，在微积分发明之前，计算体积是一件很困难的事情，数学家在算体积时就像打擂台一样。但微积分出现后，特别是有了计算机以后，体积的计算变得很普通，人们可以算出高维的积分。计算建模正成为许多学科的通行工具，而计算机只能读懂数学模型，因此“数学化”已经成为研究中一个重要的步骤。

　　他说：“计算能力的提高使人们对问题的看法不一样了，可以省出更多时间思考更深刻的问题。”

　　同时，计算机的发展使得计算物理、计算化学、流体力学等方兴未艾，不同学科之间的边界在无形中变得更模糊。“流体力学的基本方程早在19世纪就被写出来了，但因为其数学上的复杂性，很长时间里工程师并不直接使用它。有了计算流体力学以后，这种情况得到了彻底的改变。在化学领域，想知道分子的结构就要解一个复杂的方程，这在以前是无法想象的，计算使得理论化学成为一个更为强大的学科。同样，计算物理现在也已成为物理比较主要的分支。”

　　“在我们拥有强大的计算能力之前，第一要务就是简化，很多事情依赖直观或经验，对一些本质问题只能含混过去。而现在，有了计算这个工具后，我们就可以直接处理许多本质问题。”

　　但鄂维南也指出，并非有了计算机一切问题都能迎刃而解。“做好的科学，第一要知道什么样的问题是好的问题，第二才是设计算法，第三是有了计算结果后，怎么理解计算结果。物理学家爱说的一句话是：‘也许你的计算机理解了这个问题，但你并没有理解。’”

　　“我想强调的是，计算机的发展给数学也带来了前所未有的挑战。”他说。

　　这一挑战在于，数学正在变得更加“广泛”，计算物理、计算化学、计算生物与计算数学在原则上是一致的。“我们数学家通常觉得别人做事不严格，我们做得更严格，更系统。但从应用的角度，人家可以说，即使不够严格也造起了桥梁，建起了大楼，数学家虽然严格，但扮演的是填填补补的角色。数学是满足于这样的角色，还是走到前沿去？这是一个严重的问题。”

　　1998年，诺贝尔化学奖颁给了从事计算化学工作的科恩(Walter Kohn)和波普(John Pople)。鄂维南认为，他们所解决的，很大程度上是一个计算数学的问题。再如对互联网稳定性和安全可靠性问题的研究，几乎被物理学家和计算机学家瓜分，鲜见数学家的身影。这些被公认为非常成功的领域，却没有数学家的参与。其结果是：科学本身的发展速度受到影响，数学也错失机遇，失去了很多资源。

　　究其原因，鄂维南分析，首先是因为计算数学和应用数学经过50年的发展，已经像纯数学一样，成为一个自身很成熟的学科，跟其他学科的联系越来越少；而更大的症结则在于教育，教育体系和科研体系的脱节。应该鼓励应用数学与多学科研究国际会议这样的方式，鼓励不同学科的交流，在教育改革上多下功夫更是刻不容缓。

　　“我们的教育体制已经变成了孤立的体制，中外都是如此。培养的学生知识面很窄，对其他学科没有了解。”鄂维南说：“一名学生如果能考上南开大学或者北京大学数学系，不仅数学成绩好，物理、化学都要好，否则总分不够。可是进了数学系后，一学期下来，大部分学生却形成了物理不重要，只有数学重要的狭隘观念。在其他专业也存在这样太专业化的问题。这种观念，给交叉学科造成了非常大的危害。”

　　“生物化学、物理化学等交叉学科早就出现了，为什么最近几年‘交叉学科’这个词汇变得热门？很重要的原因是：各学科本身已经相对比较成熟。当前面临的主要问题是：教育体系和研究体系不协调。在以前，数学系的老师教数学，研究的也是数学；物理系的老师教物理，研究的也是物理。而现在，我们研究的是交叉学科，却仍按照从前的体系培养学生。普林斯顿大学正在推行一个项目，用以鼓励生物专业的学生打下很强的数学和物理基础，这是他们的基本出发点。”

　　对于大学数学专业课程设置，鄂维南认为：“数学教育需要同时教授数学思维和数学技术，现在忽略了数学思维方面的训练。应用数学的学生大都没有学好纯数学。以前做计算数学的人，跟纯数学接触最多的是偏微分方程，这是靠得最近的领域。现在不一样，学生必须得懂数学物理、概率论、随机过程、动力系统……更重要的是要学会数学的思维方式。”

　　“数学不仅仅是几何、分析、代数、拓扑等一堆学科的拼凑，更重要的是它的思维方式。这种思维方式体现在两个方面：一是具体和抽象之间的密切联系，二是直观和精确之间的密切联系。”

　　“现有的应用数学课程必须简化。特别是计算数学的课程，太繁琐。”鄂维南说，“我看了都头疼。计算数学专业的学生本科期间花两年的时间学数值分析、优化、有限元等，读研究生后再学，还是没有学好。”他曾在学生中做过测试，有的人回答不出简单的问题，“原因就是学得太‘细’了”。

　　鄂维南为应用数学本科生列出的必修课程，包括计算物理、生物数学、数值方法、非线性动力学、应用随机分析等，并特别强调了物理的重要性：“就算为了到华尔街挣钱，也应该学物理，因为物理也是一种思维。”他相信：“经过这样的教学改革，数学本身的价值和完整性不但不会丧失，反而会帮助把其他学科统一起来。”

　　“数学是科学的语言。”这是让数学家们深感自豪并津津乐道的一句名言，大家由此认为无需为数学担心。鄂维南借用2006年度阿贝尔奖得主、瑞典数学家卡勒森(Lennart Carleson)的一段话警示道：“拉丁文是欧洲许多语言的基础，可是现在还有几个人学拉丁文？希望数学不要落到同样的地步。”

　　鄂维南，43岁，现为普林斯顿大学终身教授，1996年获美国青年科学家和工程师总统奖，1999年获冯康科学计算奖，2003年获第五届国际工业与应用数学家大会科拉兹奖(Collatz Prize)。